Рівновага в електростатичному полі

Розглянемо спочатку таке питання: за яких умов точковий заряд може перебувати в механічній рівновазі в електричному полі інших зарядів? Як приклад уявімо собі три від'ємні заряди у вершинах рівностороннього трикутника, розташованого в горизонтальній площині. Чи залишиться на своєму місці додатний заряд, поміщений у центр трикутника? (Для простоти знехтуємо вагою; але й урахування її впливу не змінить висновків.) Сила, що діє на додатний заряд, дорівнює нулю, але чи стійка ця рівновага? Чи повернеться заряд у положення рівноваги, якщо його трохи зсунути з цього місця? Відповідь свідчить: ні.
 
У жодному електростатичному полі не існує жодних точок стійкої рівноваги, за винятком випадку, коли заряди сидять один на одному. Застосовуючи закон Гаусса, легко зрозуміти чому. По-перше, щоб заряд перебував у рівновазі в деякій точці Р₀, поле в ній має дорівнювати нулю. По-друге, щоб рівновага була стійкою, потрібно, щоб зміщення заряду з Р₀ у будь-який бік викликало відновлювальну силу, спрямовану проти зміщення. Вектори електричного поля в усіх навколишніх точках мають показувати всередину — на точку Р₀. Але, як легко побачити, це порушує закон Гаусса, якщо в Р₀ немає заряду.
Візьмемо невелику уявну поверхню, що оточує точку Р₀ (фіг. 5.1). Якщо всюди поблизу Р₀ електричне поле спрямоване до Р₀, то поверхневий інтеграл від нормальної складової напевно не дорівнює нулю. У випадку, зображеному на фігурі, потік крізь поверхню має бути від'ємним числом. Але, згідно з законом Гаусса, потік електричного поля крізь будь-яку поверхню пропорційний кількості заряду всередині неї. Якщо в Р₀ немає заряду, то зображене нами поле порушить закон Гаусса. Урівноважити додатний заряд у порожньому просторі, у точці, в якій немає якогось від'ємного заряду, неможливо. Але якщо додатний заряд розміщений у центрі розподіленого від'ємного заряду, то він може перебувати в рівновазі. Звісно, розподіл від'ємного заряду мусить сам утримуватися на своєму місці сторонніми, неелектричними силами! Цей висновок ми зробили для точкового заряду. Чи зберігається він для складного розташування зарядів, взаємне розміщення яких чимось зафіксоване (скажімо, стрижнями)? Розберемо це питання на прикладі двох однакових зарядів, закріплених на стрижні. Чи може ця комбінація в якомусь електричному полі застигнути в рівновазі? І знову відповідь свідчить: ні. Сумарна сила, що діє на стрижень, не здатна повертати його до положення рівноваги за будь-яких напрямків  зміщення.
 
Позначимо сумарну силу, що діє на стрижень у будь-якому положенні, буквою F. Тоді F — це векторне поле. Повторюючи ті самі міркування, що й вище, ми дійдемо висновку, що в положенні стійкої рівноваги дивергенція F має бути числом від'ємним. Але сумарна сила, що діє на стрижень, дорівнює добутку першого заряду на поле в тому місці, де він перебуває, плюс добуток другого заряду на поле в тому місці, де він перебуває:

Дивергенція F дається виразом

Якщо кожен із двох зарядів q₁ і q₂ перебуває у вільному просторі, то й ∇·E₁, і ∇·E₂ дорівнюють нулю, і ∇·F теж нуль, а не від'ємне число, як мало б бути при рівновазі. Подальше розширення цього доведення покаже, що жодна жорстка комбінація будь-якого числа зарядів не здатна завмерти в положенні стійкої рівноваги в електростатичному полі в порожньому просторі.
Але ми не збираємося доводити, що якщо заряд може ковзати по стрижнях або спиратися на інші механічні зв'язки, то рівновага все одно неможлива. Це не так. Візьмемо для прикладу трубку, в якій заряд може вільно рухатися вперед і назад (але не вбік). Тепер легко влаштувати електричне поле, яке на кінцях трубки спрямоване всередину неї (при цьому поблизу центру трубки йому дозволяється бути спрямованим назовні, вбік). Для цього треба просто помістити по додатному заряду на кожному кінці трубки (фіг. 5.2). Тепер точка рівноваги існує навіть у тому випадку, коли дивергенція Е дорівнює нулю. Звісно, заряд не опинився б у стійкій рівновазі, якби не «неелектричні» сили від стінок трубки.