Заряджена площина; пара площин

Як інший приклад розрахуємо поле однорідно зарядженого плоского листа. Припустимо, що лист має нескінченну протяжність, а заряд на одиницю площі дорівнює σ. Одразу спадає на думку таке міркування: із симетрії випливає, що поле спрямоване всюди поперек площини, і якщо не існує поля від усіх інших зарядів у світі, то поля по обидва боки площини мають збігатися (за величиною). Цього разу за гауссову поверхню ми приймемо прямокутний ящик, що перетинає нашу площину (фіг. 5.6). Кожна з граней, паралельних площині, має площу A. Поле нормальне до цих двох граней і паралельне решті чотирьох. Сумарний потік дорівнює E, помноженому на площу першої грані, плюс E, помноженому на площу протилежної грані; від решти граней жодних доданків не увійде. Заряд усередині ящика дорівнює σA. Прирівнюючи потік до заряду, напишемо

звідки

Простий, але важливий результат.
 
Ви пам'ятаєте, можливо, що той самий результат був отриманий у перших розділах інтегруванням по всій площині. Закон Гаусса дає відповідь набагато швидше (хоча він не так широко застосовний, як попередній метод).
 
Підкреслимо, що цей результат   стосується  лише поля, створеного зарядами, розміщеними на площині. Якщо поруч є інші заряди, загальне поле поблизу площини було б сумою (5.3) і поля інших зарядів. Закон Гаусса тоді лише гарантував  би, що

де Е₁ і Е₂ — поля, спрямовані на кожній стороні площини назовні від неї.
Задача про дві паралельні площини з рівними і протилежними густинами зарядів +σ і –σ розв'язується теж просто, якщо тільки знову припустити, що зовнішній світ абсолютно симетричний. Чи складете ви суперпозицію двох розв'язків для окремих площин, чи побудуєте гауссів ящик, що охоплює обидві площини, в обох випадках легко побачити, що поле зовні площин дорівнює нулю (фіг. 5.7, а). Але, замкнувши в ящик лише одну або лише іншу поверхню, як показано на фіг. 5.7, б або в, ми легко виявимо, що поле між площинами має бути вдвічі більшим за поле окремої площини. Підсумок такий: