Якщо ми вдивимося трохи пильніше в те, як поле всередині сфери виявляється нульовим, то краще зрозуміємо, чому закон Гаусса завдячує своїм походженням закону Кулона, тобто точній залежності сили від другого степеня відстані. Візьмемо довільну точку P усередині однорідно зарядженої сферичної поверхні. Уявімо вузький конус, що починається в точці P і тягнеться до поверхні сфери, вирізаючи там невелику сферичну ділянку Δа1 (фіг. 5.9). Точно симетричний конус по інший бік вершини виріже на поверхні площу Δа2. Якщо відстані від P до цих двох елементів площі дорівнюють r1 і r2, то площі перебувають у відношенніЗображення
(Ви можете довести це для будь-якої точки кулі за допомогою геометрії.)
Якщо поверхня сфери заряджена рівномірно, то заряд Δq на кожному елементі поверхні пропорційний її площі
Якщо поверхня сфери заряджена рівномірно, то заряд Δq на кожному елементі поверхні пропорційний її площі
Зображення
Тоді закон Кулона стверджує, що величини полів, створюваних у P цими двома елементами поверхні, перебувають у відношенні
Зображення
Поля точно взаємно знищуються. Таким чином можна розбити на пари всю сферу. Отже, все поле в точці P дорівнює нулю. Але ви бачите, що цього не було б, якби показник степеня r у законі Кулона не дорівнював точно двом.
Справедливість закону Гаусса залежить від закону обернених квадратів Кулона. Якби закон сили не підкорявся точно залежності 1/r2, то поле всередині однорідно зарядженої сфери не було б точно рівним нулю. Наприклад, якби поле змінювалося швидше (скажімо, як 1/r3), то частина сфери, ближча до точки P, створила б у точці P сильніше поле, ніж дальня частина. Вийшло б (для додатного поверхневого заряду) радіальне поле, спрямоване до центра. Ці висновки підказують нам елегантний спосіб перевірки точності виконання закону обернених квадратів. Для цього потрібно тільки дізнатися, чи точно поле всередині однорідно зарядженої сфери дорівнює нулю.
Наше щастя, що такий спосіб існує. Адже зазвичай важко виміряти фізичну величину з високою точністю. Досягти одновідсоткової точності було б неважко, але як бути, якщо нам знадобиться виміряти закон Кулона з точністю, скажімо, до однієї мільярдної? Можна майже поручитися, що виміряти з такою точністю силу, що діє між двома зарядженими тілами, не здатні навіть найкращі прилади. Але якщо тільки потрібно переконатися в тому, що поле всередині сфери менше за деяке значення, то можна провести досить точне вимірювання справедливості закону Гаусса і тим самим перевірити обернену квадратичну залежність у законі Кулона. По суті відбувається порівняння закону сили з ідеальним законом обернених квадратів. Саме такі порівняння однакових, або майже однакових, речей зазвичай стають основою найточніших фізичних вимірювань.
Як же спостерігати поле всередині зарядженої сфери? Один зі способів — це спробувати зарядити тіло, доторкнувшись ним до внутрішньої частини сферичного провідника. Ви знаєте, що якщо доторкнутися металевою кулькою до зарядженого тіла, а потім до електрометра, то прилад зарядиться і стрілка відхилиться від нуля (фіг. 5.10, а). Кулька збирає на себе заряди, тому що зовні зарядженої сфери є електричні поля, що змушують заряди переходити на кульку (або з неї). А якщо ви проробите той самий дослід, доторкнувшись кулькою до внутрішньої частини зарядженої сфери, то побачите, що до електрометра заряд не підводиться. З такого досліду одразу видно, що внутрішнє поле становить у кращому разі кілька відсотків від зовнішнього і що закон Гаусса правильний, принаймні наближено.
Здається, першим, хто помітив, що поле всередині зарядженої сфери дорівнює нулю, був Бенджамін Франклін. Це здалося йому дивним. Коли він повідомив про це Прістлі, той запідозрив, що це пов'язано з законом обернених квадратів, тому що було відомо, що сферичний шар речовини не створює всередині себе поля тяжіння. Але Кулон виміряв обернену квадратичну залежність лише через 18 років, а закон Гаусса з'явився на світ і того пізніше.
Закон Гаусса перевірили дуже ретельно; для цього електрометр поміщали всередину великої сфери і спостерігали, чи відхилиться стрілка, коли сферу зарядять до високої напруги. Результат завжди виходив негативним. Якщо знати геометрію апарата і чутливість приладу, можна розрахувати найменше поле, яке ще доступне спостереженню. З цього числа можна встановити верхню межу відхилення показника степеня від двох. Якщо записати залежність електростатичної сили від відстані у вигляді r-2+ε, то можна визначити верхню межу ε. Цим способом Максвелл дізнався, що ε менше 1/10000. Дослід було повторено й удосконалено в 1936 р. Плімптоном і Лафтоном. Вони виявили, що кулонів показник відрізняється від 2 менш ніж на одну мільярдну.
Це підводить нас до цікавого питання: наскільки точно виконується закон Кулона за різних обставин? У щойно описаних дослідах вимірювалася залежність поля від відстані на відстанях порядку десятків сантиметрів. А що можна сказати про внутрішньоатомні відстані, скажімо всередині атома водню, де, як ми вважаємо, електрон притягується до ядра за тим самим законом обернених квадратів? Звісно, для опису механічної частини поведінки електрона потрібна квантова механіка, але сила тут — як і раніше звична електростатична сила. У постановці задачі про атом водню відома потенціальна енергія електрона як функція відстані від ядра, і тоді закон Кулона приводить до потенціалу, обернено пропорційного першому степеню відстані. З якою точністю цей показник відомий на таких малих відстанях? У підсумку дуже ретельних вимірювань відносного розташування рівнів енергії водню, проведених у 1947 р. Лембом і Різерфордом, нам тепер відомо, що і на відстанях порядку атомних, тобто порядку ангстрема (10-8 см), показник витримується з точністю до однієї мільярдної.
Така точність вимірювань Лемба і Різерфорда виявилася можливою знову завдяки одній фізичній «випадковості». Серед станів атома водню є два такі, у яких енергії мають бути майже однаковими лише в тому випадку, якщо потенціал змінюється точно за законом 1/r. Вимірювалася дуже мала різниця в енергіях за частотою ω фотонів, що випромінюються або поглинаються при переходах з одного стану в інший (згідно з формулою ΔE =hω). Розрахунки показали, що ΔЕ помітно відрізнялася б від спостережуваного значення, якби показник степеня в законі сили 1/r2 відрізнявся б від 2 лише на одну мільярдну.
А чи правильний цей закон і на ще менших відстанях? У ядерній фізиці вимірювання показали, що на типово ядерних відстанях (порядку 10-13 см) існують електростатичні сили і що змінюються вони все ще як обернені квадрати відстаней. Одне зі свідчень на користь цього ми розберемо в наступних розділах. Ми впевнені, таким чином, що закон Кулона ще виконується і на відстанях близько 10-13 см.
А що можна сказати про відстань 10-14 см? Цей інтервал досліджували, бомбардуючи протони дуже енергійними електронами і стежачи за тим, як вони розсіюються. Сьогоднішні дані вказують на те, що на цих відстанях закон зазнає краху. Електричні сили на відстанях менших за 10-14 см виявляються чи не в 10 разів слабшими. Цьому є два пояснення. Чи то закон Кулона на таких малих відстанях не діє, чи то ці тіла (електрони і протони) не є точковими зарядами. Можливо, що один з них якось розмазаний (а може, й обидва). Більшість фізиків схильні думати, що розмазаний заряд протона. Ми знаємо, що протони сильно взаємодіють з мезонами. Це означає, що протон час від часу існує у вигляді нейтрона з π+-мезоном навколо. Таке розташування в середньому виглядало б як невелика кулька додатного заряду. А ми знаємо, що не можна вважати поле кулі зарядів таким, що змінюється аж до самого центра за законом 1/r2. Цілком імовірно, що заряд протона розмазаний, але теорія піонів ще дуже недосконала, і не виключено, що й закон Кулона на малих відстанях відмовляє. Питання поки залишається відкритим.
Ще одне каверзне питання: якщо закон обернених квадратів правильний і на відстанях порядку 1 м, і на відстанях порядку 10-10 м, то чи залишається тим самим коефіцієнт 1/4πε0? Так,— каже відповідь,— принаймні з точністю до 15 мільйонних.
Повернімося тепер до важливого питання, від якого ми відмахнулися, коли говорили про дослідне підтвердження закону Гаусса. Вас могло здивувати, як в досліді Максвелла і Плімптона—Лафтона вдалося досягти такої точності. Адже навряд чи сферичний провідник міг бути ідеальною сферою. Досягти точності в одну мільярдну — це чудово; але резонно запитати: як вони змогли настільки точно виготовити сферу? Напевно, на сфері були невеликі неправильності, як на будь-якій реальній сфері, і чи не могли ці нерегулярності створити якесь поле всередині? Ми хочемо показати тепер, що в ідеальній сфері зовсім немає потреби. Виявляється, можна довести, що всередині замкненої провідної оболонки будь-якої форми поля не буває. Іншими словами, досліди залежали від 1/r2, але жодним чином не були пов'язані зі сферичною формою поверхні (хіба що зі сферою було б легше розрахувати поле, якби закон Кулона виявився помилковим). Отже, ми знову повертаємося до цього питання. Для його розв'язання нам потрібно знати деякі властивості провідників електрики.
Справедливість закону Гаусса залежить від закону обернених квадратів Кулона. Якби закон сили не підкорявся точно залежності 1/r2, то поле всередині однорідно зарядженої сфери не було б точно рівним нулю. Наприклад, якби поле змінювалося швидше (скажімо, як 1/r3), то частина сфери, ближча до точки P, створила б у точці P сильніше поле, ніж дальня частина. Вийшло б (для додатного поверхневого заряду) радіальне поле, спрямоване до центра. Ці висновки підказують нам елегантний спосіб перевірки точності виконання закону обернених квадратів. Для цього потрібно тільки дізнатися, чи точно поле всередині однорідно зарядженої сфери дорівнює нулю.
Наше щастя, що такий спосіб існує. Адже зазвичай важко виміряти фізичну величину з високою точністю. Досягти одновідсоткової точності було б неважко, але як бути, якщо нам знадобиться виміряти закон Кулона з точністю, скажімо, до однієї мільярдної? Можна майже поручитися, що виміряти з такою точністю силу, що діє між двома зарядженими тілами, не здатні навіть найкращі прилади. Але якщо тільки потрібно переконатися в тому, що поле всередині сфери менше за деяке значення, то можна провести досить точне вимірювання справедливості закону Гаусса і тим самим перевірити обернену квадратичну залежність у законі Кулона. По суті відбувається порівняння закону сили з ідеальним законом обернених квадратів. Саме такі порівняння однакових, або майже однакових, речей зазвичай стають основою найточніших фізичних вимірювань.
Як же спостерігати поле всередині зарядженої сфери? Один зі способів — це спробувати зарядити тіло, доторкнувшись ним до внутрішньої частини сферичного провідника. Ви знаєте, що якщо доторкнутися металевою кулькою до зарядженого тіла, а потім до електрометра, то прилад зарядиться і стрілка відхилиться від нуля (фіг. 5.10, а). Кулька збирає на себе заряди, тому що зовні зарядженої сфери є електричні поля, що змушують заряди переходити на кульку (або з неї). А якщо ви проробите той самий дослід, доторкнувшись кулькою до внутрішньої частини зарядженої сфери, то побачите, що до електрометра заряд не підводиться. З такого досліду одразу видно, що внутрішнє поле становить у кращому разі кілька відсотків від зовнішнього і що закон Гаусса правильний, принаймні наближено.
Здається, першим, хто помітив, що поле всередині зарядженої сфери дорівнює нулю, був Бенджамін Франклін. Це здалося йому дивним. Коли він повідомив про це Прістлі, той запідозрив, що це пов'язано з законом обернених квадратів, тому що було відомо, що сферичний шар речовини не створює всередині себе поля тяжіння. Але Кулон виміряв обернену квадратичну залежність лише через 18 років, а закон Гаусса з'явився на світ і того пізніше.
Закон Гаусса перевірили дуже ретельно; для цього електрометр поміщали всередину великої сфери і спостерігали, чи відхилиться стрілка, коли сферу зарядять до високої напруги. Результат завжди виходив негативним. Якщо знати геометрію апарата і чутливість приладу, можна розрахувати найменше поле, яке ще доступне спостереженню. З цього числа можна встановити верхню межу відхилення показника степеня від двох. Якщо записати залежність електростатичної сили від відстані у вигляді r-2+ε, то можна визначити верхню межу ε. Цим способом Максвелл дізнався, що ε менше 1/10000. Дослід було повторено й удосконалено в 1936 р. Плімптоном і Лафтоном. Вони виявили, що кулонів показник відрізняється від 2 менш ніж на одну мільярдну.
Це підводить нас до цікавого питання: наскільки точно виконується закон Кулона за різних обставин? У щойно описаних дослідах вимірювалася залежність поля від відстані на відстанях порядку десятків сантиметрів. А що можна сказати про внутрішньоатомні відстані, скажімо всередині атома водню, де, як ми вважаємо, електрон притягується до ядра за тим самим законом обернених квадратів? Звісно, для опису механічної частини поведінки електрона потрібна квантова механіка, але сила тут — як і раніше звична електростатична сила. У постановці задачі про атом водню відома потенціальна енергія електрона як функція відстані від ядра, і тоді закон Кулона приводить до потенціалу, обернено пропорційного першому степеню відстані. З якою точністю цей показник відомий на таких малих відстанях? У підсумку дуже ретельних вимірювань відносного розташування рівнів енергії водню, проведених у 1947 р. Лембом і Різерфордом, нам тепер відомо, що і на відстанях порядку атомних, тобто порядку ангстрема (10-8 см), показник витримується з точністю до однієї мільярдної.
Така точність вимірювань Лемба і Різерфорда виявилася можливою знову завдяки одній фізичній «випадковості». Серед станів атома водню є два такі, у яких енергії мають бути майже однаковими лише в тому випадку, якщо потенціал змінюється точно за законом 1/r. Вимірювалася дуже мала різниця в енергіях за частотою ω фотонів, що випромінюються або поглинаються при переходах з одного стану в інший (згідно з формулою ΔE =hω). Розрахунки показали, що ΔЕ помітно відрізнялася б від спостережуваного значення, якби показник степеня в законі сили 1/r2 відрізнявся б від 2 лише на одну мільярдну.
А чи правильний цей закон і на ще менших відстанях? У ядерній фізиці вимірювання показали, що на типово ядерних відстанях (порядку 10-13 см) існують електростатичні сили і що змінюються вони все ще як обернені квадрати відстаней. Одне зі свідчень на користь цього ми розберемо в наступних розділах. Ми впевнені, таким чином, що закон Кулона ще виконується і на відстанях близько 10-13 см.
А що можна сказати про відстань 10-14 см? Цей інтервал досліджували, бомбардуючи протони дуже енергійними електронами і стежачи за тим, як вони розсіюються. Сьогоднішні дані вказують на те, що на цих відстанях закон зазнає краху. Електричні сили на відстанях менших за 10-14 см виявляються чи не в 10 разів слабшими. Цьому є два пояснення. Чи то закон Кулона на таких малих відстанях не діє, чи то ці тіла (електрони і протони) не є точковими зарядами. Можливо, що один з них якось розмазаний (а може, й обидва). Більшість фізиків схильні думати, що розмазаний заряд протона. Ми знаємо, що протони сильно взаємодіють з мезонами. Це означає, що протон час від часу існує у вигляді нейтрона з π+-мезоном навколо. Таке розташування в середньому виглядало б як невелика кулька додатного заряду. А ми знаємо, що не можна вважати поле кулі зарядів таким, що змінюється аж до самого центра за законом 1/r2. Цілком імовірно, що заряд протона розмазаний, але теорія піонів ще дуже недосконала, і не виключено, що й закон Кулона на малих відстанях відмовляє. Питання поки залишається відкритим.
Ще одне каверзне питання: якщо закон обернених квадратів правильний і на відстанях порядку 1 м, і на відстанях порядку 10-10 м, то чи залишається тим самим коефіцієнт 1/4πε0? Так,— каже відповідь,— принаймні з точністю до 15 мільйонних.
Повернімося тепер до важливого питання, від якого ми відмахнулися, коли говорили про дослідне підтвердження закону Гаусса. Вас могло здивувати, як в досліді Максвелла і Плімптона—Лафтона вдалося досягти такої точності. Адже навряд чи сферичний провідник міг бути ідеальною сферою. Досягти точності в одну мільярдну — це чудово; але резонно запитати: як вони змогли настільки точно виготовити сферу? Напевно, на сфері були невеликі неправильності, як на будь-якій реальній сфері, і чи не могли ці нерегулярності створити якесь поле всередині? Ми хочемо показати тепер, що в ідеальній сфері зовсім немає потреби. Виявляється, можна довести, що всередині замкненої провідної оболонки будь-якої форми поля не буває. Іншими словами, досліди залежали від 1/r2, але жодним чином не були пов'язані зі сферичною формою поверхні (хіба що зі сферою було б легше розрахувати поле, якби закон Кулона виявився помилковим). Отже, ми знову повертаємося до цього питання. Для його розв'язання нам потрібно знати деякі властивості провідників електрики.