Закон Гаусса можна застосувати для розв'язання безлічі задач, пов'язаних з електричним полем, що має спеціальну симетрію (найчастіше сферичну, циліндричну або плоску). У решті частині цього розділу ми займемося застосуванням закону Гаусса до деяких задач такого роду. Легкість, з якою розв'язуватимуться ці задачі, може створити помилкове враження про потужність методу і про можливість з його допомогою перейти до розв'язання багатьох інших задач. На жаль, це не так. Список задач, які легко розв'язуються за законом Гаусса, швидко вичерпується. У наступних розділах ми розвинемо значно потужніші методи дослідження електростатичних полів.
Як перший приклад розглянемо систему з циліндричною симетрією. Нехай у нас є довжелезна рівномірно заряджена спиця. Під цим ми розуміємо електричні заряди, рівномірно розподілені вздовж нескінченно довгої прямої, так що на одиницю довжини припадає заряд λ. Ми хочемо визначити електричне поле. Звісно, задачу можна розв'язати інтегруванням внесків у поле від усіх частин прямої. Але ми збираємося розв'язати її без інтегрування, лише за допомогою закону Гаусса і деяких здогадів. По-перше, легко здогадатися, що електричне поле буде спрямоване по радіусу. Будь-якій осьовій складовій від зарядів, що лежать з одного боку від деякої площини, має відповідати така сама осьова складова від зарядів, що лежать з іншого боку. У підсумку має залишитися лише радіальне поле. Крім того, резонно вважати, що в усіх точках, рівновіддалених від прямої, поле має однакову величину. Це очевидно. (Можливо, це нелегко довести, але це правильно, якщо простір симетричний, а ми вважаємо, що це так.)
Застосувати закон Гаусса можна таким чином. Уявімо собі поверхню, що має форму циліндра, вісь якого збігається з нашою прямою (фіг. 5.5). Згідно з законом Гаусса, весь потік Е з цієї поверхні дорівнює заряду всередині неї, поділеному на ε0. Оскільки поле вважається нормальним до поверхні, то його нормальна складова — це величина вектора поля. Позначимо її E. Нехай радіус циліндра буде r, а його довжина для зручності обрана рівною одиниці. Потік крізь циліндричну поверхню дорівнює добутку E на площу поверхні, тобто на 2πr. Потік крізь торці дорівнює нулю, тому що поле дотичне до них. Увесь заряд всередині нашої поверхні дорівнює якраз λ, тому що довжина осі циліндра дорівнює одиниці. Тоді закон Гаусса дає
Як перший приклад розглянемо систему з циліндричною симетрією. Нехай у нас є довжелезна рівномірно заряджена спиця. Під цим ми розуміємо електричні заряди, рівномірно розподілені вздовж нескінченно довгої прямої, так що на одиницю довжини припадає заряд λ. Ми хочемо визначити електричне поле. Звісно, задачу можна розв'язати інтегруванням внесків у поле від усіх частин прямої. Але ми збираємося розв'язати її без інтегрування, лише за допомогою закону Гаусса і деяких здогадів. По-перше, легко здогадатися, що електричне поле буде спрямоване по радіусу. Будь-якій осьовій складовій від зарядів, що лежать з одного боку від деякої площини, має відповідати така сама осьова складова від зарядів, що лежать з іншого боку. У підсумку має залишитися лише радіальне поле. Крім того, резонно вважати, що в усіх точках, рівновіддалених від прямої, поле має однакову величину. Це очевидно. (Можливо, це нелегко довести, але це правильно, якщо простір симетричний, а ми вважаємо, що це так.)
Застосувати закон Гаусса можна таким чином. Уявімо собі поверхню, що має форму циліндра, вісь якого збігається з нашою прямою (фіг. 5.5). Згідно з законом Гаусса, весь потік Е з цієї поверхні дорівнює заряду всередині неї, поділеному на ε0. Оскільки поле вважається нормальним до поверхні, то його нормальна складова — це величина вектора поля. Позначимо її E. Нехай радіус циліндра буде r, а його довжина для зручності обрана рівною одиниці. Потік крізь циліндричну поверхню дорівнює добутку E на площу поверхні, тобто на 2πr. Потік крізь торці дорівнює нулю, тому що поле дотичне до них. Увесь заряд всередині нашої поверхні дорівнює якраз λ, тому що довжина осі циліндра дорівнює одиниці. Тоді закон Гаусса даєЗображення
Електричне поле зарядженої прямої обернено пропорційне першому степеню відстані від прямої.