Електродинаміка в чотиривимірних позначеннях

У розд. 18, § 6, ми вже стикалися з оператором Даламбера, хоча й не знали, що він так називається. Ми знайшли там диференціальне рівняння для потенціалів, яке в нових позначеннях виглядає так:

У правій частині (25.21) стоять чотири величини ρ, f_x, f_y , f_z, поділені на ε₀ — універсальну сталу, однакову в усіх системах координат, якщо в усіх системах для вимірювання заряду використовується та сама одиниця. Таким чином, чотири величини ρ/ε₀, f_x /ε₀, f_y /ε₀, f_z /ε₀ теж перетворюються як чотиривектор. Їх можна записати у вигляді j_μ /ε₀. Оператор Даламбера не змінюється при переході до інших систем координат, так що чотири величини φ, А_x, А_y і A_z теж повинні перетворитися як чотиривектор, тобто повинні бути компонентами чотиривектора. Коротше кажучи, величина

є чотиривектор. Те, що ми називали скалярним і векторним потенціалами, виявляється лише різними частинами однієї й тієї самої фізичної величини. Вони невіддільні одна від одної. А якщо це так, то релятивістська інваріантність світу очевидна. Вектор А_μ ми називаємо чотиривимірним потенціалом (4-потенціалом).
 
У чотиривимірних позначеннях (25.21) набуває дуже простого вигляду:

Фізика цього рівняння та сама, що й рівнянь Максвелла. Але є своя принада в тому, що можна переписувати їх у такій елегантній формі. Втім, ця гарна форма містить і дещо значніше — з неї безпосередньо видно інваріантність електродинаміки відносно перетворень Лоренца.
 
Нагадаємо, що рівняння (25.21) можна отримати з рівнянь Максвелла тільки тоді, коли накладено додаткову умову градієнтної інваріантності:

що означає просто ∇_μA_μ =0, тобто умова градієнтної інваріантності говорить, що дивергенція чотиривимірного вектора A_μ дорівнює нулю. Ця вимога має назву умови Лоренца. Така форма її запису дуже зручна, бо вона інваріантна, а тому рівняння Максвелла в усіх системах відліку зберігають вигляд (25.22).