Чотиривимірний потенціал рухомого заряду

Тепер випишемо закони перетворення, що виражають φ і А в рухомій системі через φ і А в нерухомій, хоча неявно ми вже говорили про них. Оскільки А_μ=(φ, А) є чотиривектором, це рівняння повинне виглядати подібно до (25.1), за винятком того, що t потрібно замінити на φ, а х — на А. Таким чином,

При цьому передбачається, що штрихована система координат рухається відносно нештрихованої зі швидкістю v у напрямку осі x.
 
Розглянемо один приклад плідності ідеї 4-потенціалу. Чому дорівнюють векторний і скалярний потенціали заряду q, що рухається зі швидкістю v у напрямку осі x? Задача дуже спрощується в системі координат, що рухається разом із зарядом, бо в цій системі заряд спочиває. Нехай заряд перебуває на початку координат системи  S′, як це показано на фіг. 25.2.
 
Скалярний потенціал у рухомій системі задається виразом

причому r` — відстань від заряду q до точки в рухомій системі, де проводиться вимірювання поля. Векторний же потенціал А′, зрозуміло, дорівнює нулю.
 
Тепер без особливих хитрощів можна знайти потенціали φ і А в нерухомій системі координат. Співвідношеннями, оберненими до рівнянь (25.24), будуть

Використовуючи далі вираз для φ′[див. (25.25)] і рівність А′=0, отримуємо

Ця формула дає нам скалярний потенціал φ, який ми побачили б у системі S, але він, на жаль, записаний через координати штрихованої системи. Втім, це легко виправити; за допомогою (25.1) можна виразити t′, x′, у′, z′ через t, x, y, z і отримати

Повторюючи ту саму процедуру для вектора А, ви можете показати,

Це ті самі формули, які ми вивели в розд. 21, але там вони були отримані іншим методом.