Я вже наводив вам співвідношення між магнітним моментом і моментом кількості руху. Дуже добре. Але що означає магнітний момент і момент кількості руху в квантовій механіці? Виявляється, що для повної впевненості в тому, що вони означають у квантовій механіці, краще визначати речі, подібні до магнітного моменту, через інші поняття, такі, як енергія. Магнітний момент легко визначити через енергію, бо енергія магнітного моменту в магнітному полі дорівнює в класичній теорії—μ·В. Отже, в квантовій механіці необхідно прийняти таке визначення. Якщо ми обчислюємо енергію системи в магнітному полі і бачимо, що вона пропорційна напруженості (для малих полів), то коефіцієнт пропорційності ми називатимемо магнітним моментом у напрямку поля. (Нам зараз у нашій роботі не потрібна особлива елегантність, і ми можемо продовжувати думати про магнітний момент у звичайному, тобто в якомусь відношенні класичному сенсі.)
Тепер мені хотілося б обговорити поняття моменту кількості руху в квантовій механіці, або, точніше, характеристики того, що в квантовій механіці зветься моментом кількості руху. Розумієте, при переході до законів нового роду не можна припускати, що кожне слово означатиме точно те саме, що й раніше. Подумавши, ви можете сказати: «Стривайте, адже я знаю, що таке момент кількості руху. Це штука, яку вимірює момент сили». Але що таке момент сили? У квантовій механіці в нас має бути нове визначення старих величин. Тому було б законно назвати її якимось іншим ім'ям, на кшталт «кутовоквантового моменту», чи чимось у цьому дусі, і вже це був би момент кількості руху «по-квантовомеханічному». Однак якщо в квантовій механіці ми можемо знайти величину, яка, коли система стає достатньо великою, ідентична нашому старому поняттю моменту кількості руху, то жодної користі від винаходу нових слів немає. Її теж можна називати моментом кількості руху. У цьому розумінні та дивна річ, яку ми збираємося описати, і є момент кількості руху. Це характеристика, в якій ми для великих систем впізнаємо момент кількості руху класичної механіки.
Насамперед візьмемо систему зі збережуваним моментом кількості руху на кшталт атома в порожньому просторі. Така система (подібно до Землі, що обертається навколо власної осі) може крутитися навколо будь-якої осі, яку б нам не заманулося обрати. Для даної величини спіна можливо багато різних «станів» з однією і тією самою енергією, причому кожен з них відповідає якомусь напрямку осі моменту кількості руху. Таким чином, у класичній механіці з даним моментом кількості руху пов'язане нескінченне число можливих станів з однією і тією самою енергією.
Однак у квантовій механіці, як виявляється, відбувається кілька дивних речей. По-перше, число станів, у яких може перебувати така система, обмежене — їх можна перелічити. Для маленької системи це число доволі мале, але якщо система велика, кінцеве число стає дуже й дуже великим. По-друге, ми не можемо описувати «стани» заданням напрямку моменту кількості руху, а можемо тільки задавати його компоненту в деякому напрямку, скажімо в напрямку осі z. Класично об'єкт із даним повним моментом кількості руху J може як z-компонента мати будь-яку величину між —J і +J. Але в квантовій механіці z-компонента моменту кількості руху може набувати лише певних дискретних значень. Будь-яка дана система, зокрема атом чи ядро, чи щось інше, із заданою енергією має характерне число j, а її z-компонента моменту кількості руху може набувати лише одного зі значень:
Тепер мені хотілося б обговорити поняття моменту кількості руху в квантовій механіці, або, точніше, характеристики того, що в квантовій механіці зветься моментом кількості руху. Розумієте, при переході до законів нового роду не можна припускати, що кожне слово означатиме точно те саме, що й раніше. Подумавши, ви можете сказати: «Стривайте, адже я знаю, що таке момент кількості руху. Це штука, яку вимірює момент сили». Але що таке момент сили? У квантовій механіці в нас має бути нове визначення старих величин. Тому було б законно назвати її якимось іншим ім'ям, на кшталт «кутовоквантового моменту», чи чимось у цьому дусі, і вже це був би момент кількості руху «по-квантовомеханічному». Однак якщо в квантовій механіці ми можемо знайти величину, яка, коли система стає достатньо великою, ідентична нашому старому поняттю моменту кількості руху, то жодної користі від винаходу нових слів немає. Її теж можна називати моментом кількості руху. У цьому розумінні та дивна річ, яку ми збираємося описати, і є момент кількості руху. Це характеристика, в якій ми для великих систем впізнаємо момент кількості руху класичної механіки.
Насамперед візьмемо систему зі збережуваним моментом кількості руху на кшталт атома в порожньому просторі. Така система (подібно до Землі, що обертається навколо власної осі) може крутитися навколо будь-якої осі, яку б нам не заманулося обрати. Для даної величини спіна можливо багато різних «станів» з однією і тією самою енергією, причому кожен з них відповідає якомусь напрямку осі моменту кількості руху. Таким чином, у класичній механіці з даним моментом кількості руху пов'язане нескінченне число можливих станів з однією і тією самою енергією.
Однак у квантовій механіці, як виявляється, відбувається кілька дивних речей. По-перше, число станів, у яких може перебувати така система, обмежене — їх можна перелічити. Для маленької системи це число доволі мале, але якщо система велика, кінцеве число стає дуже й дуже великим. По-друге, ми не можемо описувати «стани» заданням напрямку моменту кількості руху, а можемо тільки задавати його компоненту в деякому напрямку, скажімо в напрямку осі z. Класично об'єкт із даним повним моментом кількості руху J може як z-компонента мати будь-яку величину між —J і +J. Але в квантовій механіці z-компонента моменту кількості руху може набувати лише певних дискретних значень. Будь-яка дана система, зокрема атом чи ядро, чи щось інше, із заданою енергією має характерне число j, а її z-компонента моменту кількості руху може набувати лише одного зі значень:
Зображення
Найбільша величина z-компоненти дорівнює добутку j на h, наступна на h менша і т. д. до — jh. Число j зветься «спіном системи». (Деякі називають його «квантовим числом повного моменту кількості руху», а ми будемо називати його просто «спіном».)
Вас, імовірно, хвилює, чи не буде все сказане нами правильним тільки для якоїсь особливої осі z? Це не так. Для системи зі спіном j компонента моменту кількості руху по будь-якій осі може набувати лише одного зі значень (34.23). Хоча все це виглядає доволі неймовірно, я ще раз прошу вас мені повірити. Пізніше ми ще повернемося до цього пункту й обговоримо його. Вам, напевно, буде приємно почути, що z-компонента пробігає набір значень від якогось числа до мінус того самого числа, так що нам, на щастя, не доводиться гадати, який же напрямок осі z позитивний. (Звісно, якби я сказав, що вона пробігає значення від +о до мінус якесь інше число, це було б вкрай підозріло, бо тоді ми були б позбавлені можливості спрямувати вісь z в інший бік.)
Але якщо z-компонента моменту кількості руху змінюється на ціле число від +j до —j, то чи не повинно й саме j теж бути цілим числом? Ні! Не зовсім так, цілим має бути подвоєне j, тобто 2j. Іншими словами, цілою має бути лише різниця між +j і —j. Таким чином, спін j, взагалі кажучи, може бути або цілим, або напівцілим залежно від того, чи буде 2j непарним, чи парним. Візьмемо, наприклад, ядро типу літію, спін якого дорівнює j=3/2 При цьому момент кількості руху відносно осі z набуває в одиницях h одного з таких значень:
Вас, імовірно, хвилює, чи не буде все сказане нами правильним тільки для якоїсь особливої осі z? Це не так. Для системи зі спіном j компонента моменту кількості руху по будь-якій осі може набувати лише одного зі значень (34.23). Хоча все це виглядає доволі неймовірно, я ще раз прошу вас мені повірити. Пізніше ми ще повернемося до цього пункту й обговоримо його. Вам, напевно, буде приємно почути, що z-компонента пробігає набір значень від якогось числа до мінус того самого числа, так що нам, на щастя, не доводиться гадати, який же напрямок осі z позитивний. (Звісно, якби я сказав, що вона пробігає значення від +о до мінус якесь інше число, це було б вкрай підозріло, бо тоді ми були б позбавлені можливості спрямувати вісь z в інший бік.)
Але якщо z-компонента моменту кількості руху змінюється на ціле число від +j до —j, то чи не повинно й саме j теж бути цілим числом? Ні! Не зовсім так, цілим має бути подвоєне j, тобто 2j. Іншими словами, цілою має бути лише різниця між +j і —j. Таким чином, спін j, взагалі кажучи, може бути або цілим, або напівцілим залежно від того, чи буде 2j непарним, чи парним. Візьмемо, наприклад, ядро типу літію, спін якого дорівнює j=3/2 При цьому момент кількості руху відносно осі z набуває в одиницях h одного з таких значень:
Зображення
Тож якщо ядро перебуває в порожньому просторі за відсутності зовнішніх полів, то в нього є чотири можливі стани, кожен з однією і тією самою енергією. Для системи зі спіном 2 z-компонента моменту кількості руху набуває в одиницях h лише таких значень:
2;1;0;–1;–2.
Якщо ви підрахуєте, скільки можливо станів для даного спіна j, то їх вийде (2j+1). Іншими словами, якщо ви скажете мені, якою є енергія системи та її спін j, то число станів з тією самою енергією точно дорівнюватиме (2j+1), причому кожен з них відповідає одній із різних величин z-компоненти моменту кількості руху.
Мені хотілося б додати ще один факт. Якщо ви навмання оберете якийсь атом з відомим j і виміряєте його z-компоненту моменту кількості руху, то зможете отримати якесь одне з можливих значень, причому кожне з них рівноймовірне. Будь-який стан може характеризуватися тільки одним з можливих значень, але кожне з них настільки ж добре, як і будь-яке інше. Кожне з них має у світі одну й ту саму вагу (ми припускаємо, що жодного попереднього «сортування» не було).
До речі, цей факт має простий класичний аналог. Уявіть, що те саме питання цікавить вас з класичної точки зору: яка ймовірність якогось певного значення z-компоненти моменту кількості руху, якщо з набору систем, що мають один і той самий момент кількості руху, ви навмання обрали одну? Відповідь: будь-яке зі значень від максимального до мінімального рівноймовірне (у чому ви можете легко переконатися самі). Цей класичний результат відповідає рівній імовірності будь-якої з (2j+1) можливостей у квантовій механіці.
Із того, що ми мали дотепер, можна отримати ще один цікавий і в якомусь сенсі дивовижний висновок. У деяких класичних розрахунках у кінцевому результаті з'являлася величина, що дорівнює квадрату моменту кількості руху J, іншими словами, J·J. І от виявляється, що правильну квантовомеханічну формулу можна вгадати за допомогою класичних обчислень і такого простого правила: замініть J2 = J·J на j(j+1)h2. Цим правилом часто користуються, і зазвичай воно дає правильний результат, однак не завжди. Щоб показати вам, чому це правило може добре працювати, я наведу таке міркування.
Скалярний добуток J·J можна записати як
2;1;0;–1;–2.
Якщо ви підрахуєте, скільки можливо станів для даного спіна j, то їх вийде (2j+1). Іншими словами, якщо ви скажете мені, якою є енергія системи та її спін j, то число станів з тією самою енергією точно дорівнюватиме (2j+1), причому кожен з них відповідає одній із різних величин z-компоненти моменту кількості руху.
Мені хотілося б додати ще один факт. Якщо ви навмання оберете якийсь атом з відомим j і виміряєте його z-компоненту моменту кількості руху, то зможете отримати якесь одне з можливих значень, причому кожне з них рівноймовірне. Будь-який стан може характеризуватися тільки одним з можливих значень, але кожне з них настільки ж добре, як і будь-яке інше. Кожне з них має у світі одну й ту саму вагу (ми припускаємо, що жодного попереднього «сортування» не було).
До речі, цей факт має простий класичний аналог. Уявіть, що те саме питання цікавить вас з класичної точки зору: яка ймовірність якогось певного значення z-компоненти моменту кількості руху, якщо з набору систем, що мають один і той самий момент кількості руху, ви навмання обрали одну? Відповідь: будь-яке зі значень від максимального до мінімального рівноймовірне (у чому ви можете легко переконатися самі). Цей класичний результат відповідає рівній імовірності будь-якої з (2j+1) можливостей у квантовій механіці.
Із того, що ми мали дотепер, можна отримати ще один цікавий і в якомусь сенсі дивовижний висновок. У деяких класичних розрахунках у кінцевому результаті з'являлася величина, що дорівнює квадрату моменту кількості руху J, іншими словами, J·J. І от виявляється, що правильну квантовомеханічну формулу можна вгадати за допомогою класичних обчислень і такого простого правила: замініть J2 = J·J на j(j+1)h2. Цим правилом часто користуються, і зазвичай воно дає правильний результат, однак не завжди. Щоб показати вам, чому це правило може добре працювати, я наведу таке міркування.
Скалярний добуток J·J можна записати як
Зображення
Оскільки це скаляр, то він має залишатися одним і тим самим для будь-якої орієнтації спіна. Припустімо, що ми навмання обрали зразок якоїсь атомної системи і провели вимірювання або величини Jx2, або Jy2, або Jz2 — середнє значення будь-якої з них має бути тим самим. (Жоден із напрямків не має особливої переваги перед будь-яким іншим.) Отже, середнє значення J·J дорівнює просто потроєній середній величині будь-якої компоненти, скажімо Jz2 :
Зображення
Але оскільки J·J за будь-якої орієнтації те саме, його середнє, звісно, буде сталою величиною
Зображення
Якщо ж ми тепер скажемо, що те саме рівняння буде використовуватися і в квантовій механіці, то можемо легко знайти <Jz2>ср. Нам просто потрібно взяти суму (2j+1) можливих значень Jz2 і поділити її на число всіх значень:
Зображення
На вашу долю залишається довести, що співвідношення (34.25) разом з (34.24) дає в результаті
Зображення
Хоча в рамках класичної фізики ми б думали, що найбільше можливе значення z-компоненти J дорівнює просто абсолютній величині J, а саме √J·J, у квантовій механіці максимальне значення Jz завжди трохи менше за нього, бо jh завжди менше √j(j+1)h. Момент кількості руху ніколи не спрямований «повністю вздовж осі z».