Теорема Лармора

Тепер уже з наших результатів можна зробити деякі висновки. Насамперед у класичній теорії момент μ завжди пропорційний J, причому для кожного виду атомів зі своєю константою пропорційності. У класичній теорії в електрона немає жодного спіна, і константа пропорційності завжди дорівнює  —q_e/2m, іншими словами, ми маємо в (34.6) покласти g=1. Відношення μ до J не залежало від внутрішнього руху електронів. Таким чином, відповідно до класичної теорії всі системи електронів мали прецесувати з однією і тією самою кутовою швидкістю. (У квантовій механіці це неправильно.) Цей результат пов'язаний з однією теоремою класичної механіки, яку мені хотілося б зараз довести. Припустімо, що є група електронів, які утримуються разом притяганням до центральної точки, подібно до електронів, притягуваних ядром. Ці електрони будуть також взаємодіяти один з одним, і рух їх, узагалі кажучи, доволі складний. Нехай ви знайшли їхній рух за відсутності магнітного поля і хочете знати, яким буде рух у слабкому магнітному полі. Теорема стверджує, що рух у слабкому магнітному полі завжди буде таким самим, як і рух без поля, з додатковим обертанням відносно осі поля з кутовою швидкістю ω_L=q_eB/2m. (Це те саме, що й ω_p при g=1.) Звісно, можливих рухів може бути багато. Уся справа в тому, що кожному руху без магнітного поля відповідає рух у полі, який складається з початкового руху плюс рівномірне обертання. Це і є теорема Лармора, а частота ω_L зветься ларморовою частотою.
 
Мені хотілося б показати вам, як можна довести цю теорему, але деталі доведення я залишу вам самим.
 
Візьмемо спочатку електрон у центральному силовому полі (див. Що таке силове поле?). На нього просто діє спрямована до центру сила F(r). Якщо тепер увімкнути однорідне магнітне поле, то з'явиться додаткова сила qv×B, так що повна сила дорівнюватиме

Подивимося тепер на ті самі електрони із системи координат, що обертається з кутовою швидкістю ω відносно осі, яка проходить через центр сили і паралельна полю В. Вона вже не буде інерціальною системою, а тому нам потрібно додати належні псевдосили: відцентрові сили і сили Коріоліса, про які ми говорили в розд. 19 (вип. 2). Там ми виявили, що в системі відліку, яка обертається з кутовою швидкістю ω, діють уявні тангенціальні сили, пропорційні v_r — радіальній компоненті швидкості:

Крім того, там діє уявна радіальна сила

де v_t — тангенціальна компонента швидкості, яку вимірюють у системі відліку, що обертається. (Радіальна компонента v_r та сама як для систем, що обертаються, так і для інерціальних систем.)
 
Тепер для достатньо малих кутових швидкостей (тобто коли ωr«v_t) першим (відцентровим) доданком у рівнянні (34.20) можна знехтувати порівняно з другим (коріолісовим). Після цього рівняння (34.19) і (34.20) можна записати разом як

Якщо ж тепер скомбінувати обертання і магнітне поле, то ми маємо до сили (34.18) додати силу (34.21). Повна сила вийде такою:

[В останньому доданку порівняно з (34.21) ми переставили множники у векторному добутку і змінили знак.] Поглянувши тепер на отриманий результат, ми бачимо, що якщо

то останні два члени скоротяться, і єдиною силою в рухомій системі буде сила F(r). Рух електрона буде таким самим, як і за відсутності магнітного поля, але додасться, звісно, обертання. Ми довели теорему Лармора для одного електрона. Оскільки при доведенні ми припускали ω малим, то це означає, що теорема правильна лише для слабких магнітних полів. Єдине, що я прошу вас розглянути самостійно,— це випадок багатьох електронів, які взаємодіють один з одним у тому самому центральному полі. Доведіть теорему для такого випадку. Таким чином, яким би складним не був атом, якщо його поле центральне,— теорема буде правильною. Але це вже кінець класичної механіки, бо те, що система прецесує таким чином, неправильно. Частота прецесії ω_p у рівнянні (34.11) лише тоді дорівнює ω_L, коли g=1.