Магнітні моменти і момент кількості руху

Перша теорема, яку ми хочемо довести в класичній механіці, стверджує: якщо електрон рухається по круговій орбіті (наприклад, обертається навколо ядра під дією центральних сил), то між магнітним моментом і моментом кількості руху існує певне співвідношення. Позначимо через J момент кількості руху, а через μ— магнітний момент електрона на орбіті. Величина моменту кількості руху дорівнює добутку маси електрона на швидкість і на радіус (фіг. 34.2). Він спрямований перпендикулярно до площини орбіти:

(Хоча ця формула й нерелятивістська, але для атома вона має бути достатньо гарною, бо у захопленого на орбіту електрона відношення v/c у загальному випадку дорівнює за порядком величини e²/hc=1/137, або близько 1%.)
 
Магнітний момент тієї ж самої орбіти дорівнює добутку струму на площу (див. розд. 14, § 5, вип. 5). Струм дорівнює позитивному заряду, що проходить за одиницю часу через будь-яку точку на орбіті, тобто добутку заряду q на частоту обертання. А частота дорівнює швидкості, поділеній на периметр орбіти, тож

Оскільки площа дорівнює πr², то магнітний момент буде

Він теж спрямований перпендикулярно до площини орбіти. Таким чином, J і μ мають однаковий напрямок:

Їхнє відношення не залежить ні від швидкості, ні від радіуса. Для будь-якої частинки, що рухається по круговій орбіті, магнітний момент дорівнює добутку q/2m на момент кількості руху. Для електрона, заряд якого негативний (позначимо його через — q_e),

Ось що виходить у класичній фізиці, і цілком дивовижно, що те саме справедливе і в квантовій механіці. Це один із правильних висновків. Однак якщо розвивати його далі шляхом класичної фізики, то ви натрапите на такі місця, де він дасть неправильні відповіді; розібратися ж потім, які результати правильні, а які ні,— ціла справа. Уже краще я одразу скажу, що в квантовій механіці правильно в загальному випадку. Насамперед співвідношення (34.4) залишається правильним для орбітального руху; однак це не єдине місце, де ми зустрічаємося з магнетизмом. Електрон, крім того, здійснює ще обертання навколо власної осі (подібне до обертання Землі навколо її осі), і в результаті цього обертання в нього виникає момент кількості руху і магнітний момент. Але з суто квантовомеханічних причин (класичне пояснення цього цілком відсутнє) відношення μ до J для власного обертання (спіна) електрона удвічі більше, ніж для орбітального руху електрона, що обертається:

У будь-якому атомі, взагалі кажучи, є кілька електронів, і його повний момент кількості руху і повний магнітний момент являють собою певну комбінацію спінових і орбітальних моментів. І без жодних класичних підстав для цього в квантовій механіці (для ізольованого атома) напрямок магнітного моменту завжди протилежний напрямку моменту кількості руху. Їхнє відношення не обов'язково має бути —q_e/m або —q_e/2m; воно розташоване десь між ними, бо тут «перемішуються» внески від спінів і орбіт. Можна записати

де множник g характеризує стан атома. Для чисто орбітальних моментів він дорівнює одиниці, для чисто спінових дорівнює 2, а для складної системи, подібної до атома, він розташований десь між ними. Звісно, користі від цієї формули не дуже багато. Вона лише каже, що магнітний момент паралельний моменту кількості руху, але може мати будь-яку величину. Тим не менш форма рівняння (34.6) все ж зручна, бо величина g, звана «фактором Ланде», є безрозмірною сталою порядку одиниці. Одне із завдань квантової механіки — передбачення фактора g для різних атомних станів. Можливо, вам цікаво знати, що відбувається в ядрах атомів. Протони й нейтрони в ядрі рухаються по своєрідних орбітах і водночас, подібно до електронів, мають спін. Магнітний момент знову паралельний моменту кількості руху. Тільки тепер порядок величини відношення магнітного моменту до моменту кількості руху для кожної з цих частинок буде таким, якого можна було очікувати для протона,що рухається по колу; при цьому масу m у рівнянні (34.3) потрібно взяти рівною масі протона.
 
Тому для ядер зазвичай пишуть (у дужках позитивна величина)

де m_p— маса протона, а стала g, звана ядерним g-фактором,— число порядку одиниці, яке має визначатися окремо для кожного сорту ядер.
 
Інша важлива відмінність у випадку ядер полягає в тому, що g-фактор спінового магнітного моменту протона не дорівнює 2, як в електрона. Для протона g=2·(2,79). Вкрай дивовижно, що спіновий магнітний момент є і в нейтрона і відношення цього магнітного моменту до моменту кількості руху дорівнює 2·(—1,93). Іншими словами, нейтрон у магнітному сенсі не буде точно «нейтральним». Він нагадує маленький магнітик і має такий самий магнітний момент, як і від'ємний заряд, що обертається.