До розділу 15. Векторний потенціал15.1. Усередині надпровідника поля В і Е дорівнюють нулю.
а) Граничною умовою для поля Е на поверхні надпровідника є рівність нулю його тангенціальних компонент. Який вигляд мають граничні умови для магнітного поля?
б) Маленька рамка зі струмом розташована на відстані d від поверхні надпровідника, що займає півпростір. Магнітний момент μ рамки утворює кут θ з нормаллю до поверхні. Кількома словами опишіть метод, за допомогою якого можна знайти магнітне поле в будь-якій точці простору, припускаючи, що поле магнітного диполя вже відоме.
в) Знайдіть залежність від кута θ обертального моменту, прикладеного до диполя. Знайдіть кути, що відповідають рівновазі диполя. Які з них відповідають стійкій рівновазі, а які — нестійкій?
г) Знайдіть залежність від кута θ сили, що притягує магнітний диполь до надпровідника або відштовхує диполь від нього.
До розділу 17. Закони індукції17.1. На наведеному рисунку зображено однорідне магнітне поле В усередині циліндра радіуса r. Напруженість магнітного поля В зменшується з постійною швидкістю 100 гс/с. Чому дорівнює миттєве прискорення (величина й напрямок) електрона, поміщеного в точки Р1 Р2 і Р3? Величину a вважати рівною 5,0 см.
17.2. Жорсткий дріт, зігнутий у півколо радіуса r, обертається з кутовою швидкістю ω в однорідному магнітному полі. Чому дорівнюють частота й амплітуда напруги та струму, наведеного в провіднику, якщо внутрішній опір вольтметра M дорівнює RM, а опір решти частин кола мізерно малий? Припустіть, що поле, створюване струмом, мале порівняно з полем В, тобто наведений струм малий і нездатний істотно змінити величину В.
17.3. По круговому витку (1) дроту, радіус a якого малий, тече постійний струм I. Інший точно такий самий виток дроту (2) розміщено на осі, що проходить через центр першого витка, на відстані R, причому R»a. Площини витків паралельні. Потім виток (2) приводять в обертання з кутовою швидкістю ω навколо одного з його діаметрів. Яка наведена в колі витка (2) е. р. с, якщо він розімкнений?
17. 4. Металевий дріт маси m ковзає без тертя по двох паралельних металевих рейках, що перебувають на відстані d одна від одної, як показано на рисунку. Під час руху дріт перетинає силові лінії однорідного магнітного поля В, напрямленого вертикально.а) Генератор G створює постійний струм I, що тече від однієї рейки до другої через дріт, який ковзає; Визначте швидкість (величину і напрямок) дроту як функцію часу, припускаючи, що в момент t=0 дріт перебував у спокої.
б) Генератор замінюється електричною батареєю з постійною е. р. с. Дріт при цьому рухається з постійною швидкістю. Знайдіть швидкість усталеного руху. Чи досягає швидкість такої величини в умовах задачі (а)?
в) Чому дорівнює струм у задачі (б) в умовах усталеного руху? Вважайте, що магнітне поле, створюване струмом /, значно менше за В.
17. 5. Коло складається з двох з'єднаних послідовно котушок з індуктивностями L1 і L2. Взаємна індукція котушок дорівнює M. Знайдіть повну індуктивність кола. Як зміниться сумарна індуктивність, якщо витки однієї котушки перемотати в інший бік?
17.6. Кабель зроблено з дроту та коаксіального провідного циліндра, що охоплює його, яким тече струм у протилежному напрямку. Радіус внутрішнього дроту кабелю дорівнює a, а зовнішній радіус циліндра дорівнює b.а) Покажіть, що якщо припустити, що струм у внутрішньому дроті тече лише по його поверхні, то індуктивність, яка припадає на одиницю довжини кабелю, дорівнює
Зображення
б) Обчисліть індуктивність, якщо струм рівномірно розподілений по перерізу внутрішнього дроту кабелю. Порівняйте обидва здобуті результати. Чи сильно результат залежить від характеру розподілу струму по перерізу центрального дроту?
17.7. Тороїдальна котушка з N витків, внутрішній радіус якої дорівнює b, в поперечному перерізі має форму квадрата зі сторонами, що дорівнюють a.
а) Покажіть, що індуктивність котушки дорівнює
17.7. Тороїдальна котушка з N витків, внутрішній радіус якої дорівнює b, в поперечному перерізі має форму квадрата зі сторонами, що дорівнюють a.
а) Покажіть, що індуктивність котушки дорівнює
Зображення
б) Виразіть через ті самі величини взаємну індукцію системи, що складається з тороїдальної котушки і довгого прямолінійного дроту, витягнутого вздовж осі симетрії котушки. Вважайте, що провідники, які замикають коло, настільки віддалені від котушки, що їхнім впливом можна знехтувати.
в) Знайдіть відношення індуктивності котушки до взаємної індукції системи.
17.8. Два плоскі витки дроту з однаковою площею A і струмом / розміщені на відстані r один від одного так, як показано на рисунку. Одиничні вектори n1 і n2, що визначають напрямки нормалей до витків, утворюють з лінією, яка сполучає центри витків, кути α1 і α2 та лежать з нею в одній площині.
а) Припускаючи, що радіус кожного витка у багато разів менший за r, знайдіть взаємну індукцію M двох витків.
б) Користуючись знайденим виразом для M12, знайдіть величину й напрямок сили, що діє між витками.
в) Як зміниться ця сила, якщо напрямок струму в одному з витків або відразу в обох змінити на протилежний?
17.9. Круговий виток дроту радіуса r1 розташований у центрі соленоїда довжиною l, що складається з N витків радіуса r2, причому r2»r1. Осі витка й соленоїда збігаються. Позначивши коло кругового витка індексом 1, а коло соленоїда індексом 2, знайдіть індуктивності M12 і M21.
17.10. В однорідному магнітному полі В, напрямленому перпендикулярно до площини рисунка, по двох провідних рейках зі швидкістю v рухається дріт. Який струм тече через опір R, якщо v = 100 см/с, l=10 см, В =0,1 вебер/м2 і R=10 ом (магнітним полем, створюваним струмом, знехтувати). У який бік зміниться знайдений вами струм, якщо не нехтувати полем, створюваним провідником, що рухається? Чи зміниться ваша відповідь, якщо магніт, який створює поле В, рухатиметься зі швидкістю v в той самий бік, що й дріт? Як змінюється з часом коефіцієнт самоіндукції зображеного на рисунку кола?
17.11. Розгляньмо два витки дроту радіуса a, що перебувають на відстані d один від одного (d»a). Центри витків лежать на одній прямій, перпендикулярній до площини обох витків. Через виток A в напрямку, показаному на рисунку стрілкою, пропускається струм I=K0t2 (t — час). Опір витка Б дорівнює R.
а) Якщо знехтувати самоіндукцією витків, то чому дорівнює момент сил, що діють на виток Б?
б) Покажіть, що якщо знехтувати самоіндукцією, то сила, яка діє на виток Б, дорівнює
в) Знайдіть відношення індуктивності котушки до взаємної індукції системи.
17.8. Два плоскі витки дроту з однаковою площею A і струмом / розміщені на відстані r один від одного так, як показано на рисунку. Одиничні вектори n1 і n2, що визначають напрямки нормалей до витків, утворюють з лінією, яка сполучає центри витків, кути α1 і α2 та лежать з нею в одній площині.а) Припускаючи, що радіус кожного витка у багато разів менший за r, знайдіть взаємну індукцію M двох витків.
б) Користуючись знайденим виразом для M12, знайдіть величину й напрямок сили, що діє між витками.
в) Як зміниться ця сила, якщо напрямок струму в одному з витків або відразу в обох змінити на протилежний?
17.9. Круговий виток дроту радіуса r1 розташований у центрі соленоїда довжиною l, що складається з N витків радіуса r2, причому r2»r1. Осі витка й соленоїда збігаються. Позначивши коло кругового витка індексом 1, а коло соленоїда індексом 2, знайдіть індуктивності M12 і M21.17.10. В однорідному магнітному полі В, напрямленому перпендикулярно до площини рисунка, по двох провідних рейках зі швидкістю v рухається дріт. Який струм тече через опір R, якщо v = 100 см/с, l=10 см, В =0,1 вебер/м2 і R=10 ом (магнітним полем, створюваним струмом, знехтувати). У який бік зміниться знайдений вами струм, якщо не нехтувати полем, створюваним провідником, що рухається? Чи зміниться ваша відповідь, якщо магніт, який створює поле В, рухатиметься зі швидкістю v в той самий бік, що й дріт? Як змінюється з часом коефіцієнт самоіндукції зображеного на рисунку кола?17.11. Розгляньмо два витки дроту радіуса a, що перебувають на відстані d один від одного (d»a). Центри витків лежать на одній прямій, перпендикулярній до площини обох витків. Через виток A в напрямку, показаному на рисунку стрілкою, пропускається струм I=K0t2 (t — час). Опір витка Б дорівнює R.а) Якщо знехтувати самоіндукцією витків, то чому дорівнює момент сил, що діють на виток Б?
б) Покажіть, що якщо знехтувати самоіндукцією, то сила, яка діє на виток Б, дорівнює
Зображення
У який бік напрямлена ця сила?
в) Покажіть якісно, в якому напрямку зміниться знайдена вами величина сили і величина моменту сили, якщо самоіндукцією витків не нехтувати?
г) З'ясуйте, як зміниться відповідь до пунктів (а) і (б) задачі, якщо виток Б повернути на 90° навколо осі, перпендикулярної до спільної осі витків.
До розділу 20. Розв'язки рівнянь Максвелла в порожньому просторі
20.1. Розв'язок диференціальних рівнянь іноді зручно шукати в комплексному вигляді,
а) Покажіть, що якщо електричне поле залежить від часу t і координати x (залежності від y і z немає)
в) Покажіть якісно, в якому напрямку зміниться знайдена вами величина сили і величина моменту сили, якщо самоіндукцією витків не нехтувати?
г) З'ясуйте, як зміниться відповідь до пунктів (а) і (б) задачі, якщо виток Б повернути на 90° навколо осі, перпендикулярної до спільної осі витків.
До розділу 20. Розв'язки рівнянь Максвелла в порожньому просторі
20.1. Розв'язок диференціальних рівнянь іноді зручно шукати в комплексному вигляді,
а) Покажіть, що якщо електричне поле залежить від часу t і координати x (залежності від y і z немає)
Зображення
то кожна компонента вектора напруженості електричного поля задовольняє хвильове рівняння. (Нагадаємо, що фізичне поле описується дійсною частиною наведеного виразу.)
б) Переконайтеся, що дійсна частина Е описує плоску хвилю, яка поширюється вздовж осі x. У який бік осі x поширюється хвиля?
в) Покажіть, що якщо оператор V діє на функції, подібні до наведеної в пункті (а), то він має вигляд
б) Переконайтеся, що дійсна частина Е описує плоску хвилю, яка поширюється вздовж осі x. У який бік осі x поширюється хвиля?
в) Покажіть, що якщо оператор V діє на функції, подібні до наведеної в пункті (а), то він має вигляд
Зображення
де ex— одиничний вектор, напрямлений вздовж осі x; i=√–1 — уявна одиниця, тобто що його дія зводиться до простого множення функції на число. Чи можна подібне твердити стосовно оператора похідної за часом?
г) Використовуючи результат пункту (в), покажіть, який вигляд мають рівняння Максвелла для полів, що залежать від t і x синусоїдально. Який зв'язок повинен існувати між ω і k?
д) Як зміняться ваші відповіді, якщо електричне поле має вигляд
г) Використовуючи результат пункту (в), покажіть, який вигляд мають рівняння Максвелла для полів, що залежать від t і x синусоїдально. Який зв'язок повинен існувати між ω і k?
д) Як зміняться ваші відповіді, якщо електричне поле має вигляд
Зображення
20.2. Плоска електромагнітна хвиля частоти ω відбивається від дзеркала, що рухається зі швидкістю v в напрямку поширення хвилі. Використовуючи рівняння Максвелла, знайдіть частоту відбитої хвилі, яку реєструє нерухомий спостерігач. Порівняйте ваш результат з тим, що був одержаний у вип. 3 за допомогою теорії відносності.
До розділу 21. Розв'язки рівнянь Максвелла зі струмами й зарядами
21.1. Виведіть докладно вираз (21.26) (див. «Лекції», вип. 6, стор. 155).
21.2. За допомогою рівняння (21.1) (див. вип. 6, стор. 142) можна знайти електричне поле, створюване рухомим зарядом. Розгляньмо диполь, утворений додатним і від'ємним зарядами, що осцилюють відносно початку координат уздовж осі z так, що координата додатного заряду змінюється з часом за законом z+=d/2cosω t, а від'ємного z_=–d/2cosω t, Дипольний момент такої системи зарядів дорівнює p=dez dcosω t. Покажіть, що електричне поле диполя, знайдене зі згаданого рівняння, має вигляд
До розділу 21. Розв'язки рівнянь Максвелла зі струмами й зарядами
21.1. Виведіть докладно вираз (21.26) (див. «Лекції», вип. 6, стор. 155).
21.2. За допомогою рівняння (21.1) (див. вип. 6, стор. 142) можна знайти електричне поле, створюване рухомим зарядом. Розгляньмо диполь, утворений додатним і від'ємним зарядами, що осцилюють відносно початку координат уздовж осі z так, що координата додатного заряду змінюється з часом за законом z+=d/2cosω t, а від'ємного z_=–d/2cosω t, Дипольний момент такої системи зарядів дорівнює p=dez dcosω t. Покажіть, що електричне поле диполя, знайдене зі згаданого рівняння, має виглядЗображення
При розв'язанні задачі вважайте, що точка P перебуває на відстані r»d від диполя.
Примітка. еr+≈еr≈еr_, а der+ /dt і d2er+/dt2 — це вектори, напрямки яких практично збігаються з напрямком вектора еθ.
21.3. Використовуючи симетрію рівнянь Максвелла та вигляд електричного й магнітного полів осцилюючого електричного диполя, знайдіть поле осцилюючого магнітного диполя. Це поле має збігатися з полем диполя, створюваного контуром зі струмом i=i0cosω t, радіус якого дорівнює a (a«c/ω).
21.4. У задачі 21.2 диполь складався з двох зарядів, що осцилюють навколо початку координат. Диполь, величина якого змінюється з часом за гармонічним законом, можна побудувати іншим способом: узяти дві провідні кулі, з'єднати їх провідником довжиною d і по провіднику пропустити змінний струм. Тоді на кінцях провідника виникає змінний заряд ±q(t), а сам провідник залишається в цілому нейтральним; заряд q(t) можна розглядати як дійсну частину виразу Q0eiωt.
У довільній точці P на відстані r»d від диполя інтегральне подання для запізнілого потенціалу приводить до точного виразу для φ (див. рисунок)
Примітка. еr+≈еr≈еr_, а der+ /dt і d2er+/dt2 — це вектори, напрямки яких практично збігаються з напрямком вектора еθ.
21.3. Використовуючи симетрію рівнянь Максвелла та вигляд електричного й магнітного полів осцилюючого електричного диполя, знайдіть поле осцилюючого магнітного диполя. Це поле має збігатися з полем диполя, створюваного контуром зі струмом i=i0cosω t, радіус якого дорівнює a (a«c/ω).
21.4. У задачі 21.2 диполь складався з двох зарядів, що осцилюють навколо початку координат. Диполь, величина якого змінюється з часом за гармонічним законом, можна побудувати іншим способом: узяти дві провідні кулі, з'єднати їх провідником довжиною d і по провіднику пропустити змінний струм. Тоді на кінцях провідника виникає змінний заряд ±q(t), а сам провідник залишається в цілому нейтральним; заряд q(t) можна розглядати як дійсну частину виразу Q0eiωt.У довільній точці P на відстані r»d від диполя інтегральне подання для запізнілого потенціалу приводить до точного виразу для φ (див. рисунок)
Зображення
б) Покажіть далі, що
Зображення
в) Переконайтеся, що зі знайдених вами потенціалів випливають ті самі вирази для електричного й магнітного полів.
21.5. Антену, призначену для роботи на частоті ω=2πс/λ, виготовлено з двох колінеарних дротів, довжина кожного з яких дорівнює 1/4 довжини хвилі. На антену подається синусоїдально змінна напруга потрібної частоти. Розподіл струмів, що виникає в антені, з великим ступенем точності описується виразом
21.5. Антену, призначену для роботи на частоті ω=2πс/λ, виготовлено з двох колінеарних дротів, довжина кожного з яких дорівнює 1/4 довжини хвилі. На антену подається синусоїдально змінна напруга потрібної частоти. Розподіл струмів, що виникає в антені, з великим ступенем точності описується виразомЗображення
Для визначення поля випромінювання антену можна подати у вигляді суперпозиції великої кількості диполів довжини Δz, причому кожен із них розташований у точці z. Величина дипольного моменту змінюється від диполя до диполя.
а) Покажіть, що дипольний момент кожного такого диполя слід брати у вигляді
а) Покажіть, що дипольний момент кожного такого диполя слід брати у вигляді
Зображення
б) Покажіть, що на великих відстанях (r»с/ω) електричне й магнітне поля антени мають вигляд.
Зображення
в) Накресліть приблизний вигляд кривої залежності Eθ, від кута θ. На цьому самому рисунку нанесіть криву залежності Еθ. від θ для одного диполя й порівняйте здобуті криві.
Зображення
21.6. Частинка із зарядом зі швидкістю v.а) Знайдіть скалярний потенціал φ у центрі круга в той момент, коли частинка перебуває в точці P.
б) Визначте векторний потенціал А у центрі круга в той самий момент.
в) Визначивши потенціали в околі центра круга, скористайтеся виразами (18.16), (18.19) («Лекції», вип. 6, стор. 90) і знайдіть електричне й магнітне поля в центрі. Як зорієнтований вектор напруженості електричного поля відносно радіуса-вектора, проведеного в точку P?
г) Обчисліть ці поля, скориставшись формулою (21.1) (вип. 6, стор. 142). У цій задачі швидкість v не передбачається малою порівняно зі швидкістю світла с.
До розділу 22. Кола змінного струму
22.1. Дротинки з'єднано так, що вони утворюють ребра куба, причому опір кожного ребра 1 ом. Знайдіть опір між різними парами вершин куба.
22.2. а) Знайдіть струм I у колі, схема якого зображена на рисунку.б) Чому дорівнює струм I, якщо зображені на схемі котушки індуктивності мають взаємну індуктивність M?
22.3. Принципова схема пристрою високоточного відтворення звуку має такий вигляд, як зображено на рисунку. Ефективний опір кожного гучномовця дорівнює R.а) Покажіть, що при R2=L/2C імпеданс на вході (на клемах генератора) дійсний і дорівнює R.
б) Покажіть, що ω2=1/LC. Частота ωc визначається як та частота, за якої на кожен із гучномовців припадає 1/2 загальної потужності.
22.4. Покажіть, що амплітуда різниці потенціалів (напруга) між точками a і b кола, зображеного на схемі, не залежить від ω. Опишіть якісно залежність фази цієї різниці потенціалів від частоти ω. Як зміниться величина різниці потенціалів між точками а і b, а також фаза, якщо джерело напруги має внутрішній опір R10/?
22.5. Електричне коло має вигляд, зображений на схемі.а) Зобразіть схематично залежність амплітуди струму в колі від частоти для довільно вибраних величин L, C і R.
б) Якщо R» √L/C, порівняйте частоту резонансу й ширину піка резонансної кривої даного кола з аналогічними величинами для кола з послідовним з'єднанням його елементів, але при R << √LlC. Окремо розгляньте випадок R=K√L/C для кола з паралельним з'єднанням і випадок R=(1/K)√L/C для кола з послідовним з'єднанням
22.6. Мостова схема, зображена на рисунку, використовується для вимірювань індуктивності. Джерелом змінної е. р. с. частоти ω слугує генератор напруги. Якщо міст збалансований, струм через детектор RD дорівнює нулю. Знайдіть L як функцію R і С.
22.7. Зображена схема є мостом Віна, який часто використовують у RС-колах. Якщо струм через детектор дорівнює нулю, кажуть, що міст збалансований. Покажіть, що баланс настає за одночасного виконання таких двох умов:Зображення
22.8. У колі, зображеному на рисунку, діє джерело змінної напруги V(t)=V0cosωt. а) Покажіть, що якщо R, L і C підібрані так, що RC=L/R, струм I у колі не залежить від частоти.
б) Яка різниця фаз між прикладеною напругою і напругою на кінцях RC-пари (при RC=L/R)?
22.9. Електричне коло зібрано так, що один його вільний кінець, зображений на рисунку стрілкою, яка впирається в точку Р3, може бути приєднаний до будь-якої з точок Р0, Ри1 ..., Рn.1. Знайдіть вираз для потужності, що виділяється в опорі R, якщо коло замкнене в точці Рm, де 0≤m≤n.
2. Припустімо, що R=1000 ом, L=10 генрі, С=20 мкф, ω=100 рад/с.
а) При якому значенні m знайдена потужність максимальна?
б) Яке максимальне значення напруги між точками Р0 і Р2 при m=2 і V0= 100 в? На кінцях опору R?
До розділу 23. Порожнинні резонатори23.1. Знайдіть наближено «резонансну» частоту для порожнини, зображеної на рисунку, припускаючи, що d << a і d << (b—а). Якими основними ефектами ви знехтували? Якщо порожнина рівномірно остигає (тобто температура в усіх точках порожнини в один і той самий момент часу однакова), чи приведе її теплове стиснення до збільшення чи до зменшення резонансної частоти? А може бути, вона залишиться незмінною?
До розділу 24. Хвилеводи
24.1. Одиниця довжини лінії передачі має індуктивність L0 та ємність С0. Покажіть, що якщо напруга V і струм I у лінії передачі змінюються повільно (що відповідає передачі сигналів з довжиною хвилі, значно більшою, ніж відстань між секціями лінії передачі), то V і I задовольняють такі рівняння:
Зображення
Зауважте, що припущення про повільну зміну сигналів аж ніяк не є обов'язковим, але обґрунтування цього твердження виходить за межі розд. 24.
24. 2. Характеристичний імпеданс дорівнює Z0=√L0/C0, де L0— індуктивність, а С0— ємність одиниці довжини.
Покажіть, що для лінії передачі, яка складається з двох тонких смуг шириною b, що перебувають на відстані a одна від одної (a << b), характеристичний імпеданс дорівнює
24. 2. Характеристичний імпеданс дорівнює Z0=√L0/C0, де L0— індуктивність, а С0— ємність одиниці довжини.
Покажіть, що для лінії передачі, яка складається з двох тонких смуг шириною b, що перебувають на відстані a одна від одної (a << b), характеристичний імпеданс дорівнює
Зображення
24.3. Секція циліндричної коаксіальної лінії передачі закрита з обох кінців провідними пластинами. Довжина порожнини, утвореної таким способом, дорівнює l. Для найнижчої моди, електричне поле якої радіальне:
а) знайдіть частоту;
б) знайдіть вираз для Е;
в) порівняйте знайдену частоту з ω0=1/√L/C, де L— індуктивність, а C— ємність, що припадають на довжину / нескінченної коаксіальної лінії.
24.4. Хвилевід у формі прямокутного паралелепіпеда (сторони перерізу a і b) виготовлений з ідеального провідного матеріалу. Кінці однієї секції хвилеводу, довжина якої l, закриті пластинами з провідного матеріалу, так що порожнина всередині хвилеводу фактично являє собою резонатор. Якщо електричне поле в порожнині визначається дійсною частиною виразу
а) знайдіть частоту;
б) знайдіть вираз для Е;
в) порівняйте знайдену частоту з ω0=1/√L/C, де L— індуктивність, а C— ємність, що припадають на довжину / нескінченної коаксіальної лінії.
24.4. Хвилевід у формі прямокутного паралелепіпеда (сторони перерізу a і b) виготовлений з ідеального провідного матеріалу. Кінці однієї секції хвилеводу, довжина якої l, закриті пластинами з провідного матеріалу, так що порожнина всередині хвилеводу фактично являє собою резонатор. Якщо електричне поле в порожнині визначається дійсною частиною виразуЗображення
то чому дорівнює амплітуда Е0(х, z) для коливання найнижчої резонансної частоти? Чому дорівнює сама резонансна частота?
24.5. Коаксіальний кабель складається з двох концентричних провідних циліндрів. Один кінець (x=0) кабелю під'єднано до генератора змінної напруги V(t)=V0cosωt. Другий кінець (x=l) закритий провідною пластиною. Індуктивність і ємність одиниці довжини кабелю дорівнюють L0 і С0. Поле в такому кабелі можна подати у вигляді суперпозиції двох хвиль: падної та відбитої від закороченого кінця. Амплітуди й фази цих хвиль мають бути підібрані так, щоб сумарна напруга між провідниками дорівнювала нулю при x=l і V0cosωt при x=0.
а) Напишіть вирази для падної та відбитої хвиль.
б) Накресліть криву залежності напруги між провідниками від відстані x, якщо довжина кабелю / дорівнює 5πс/2ω (с — швидкість світла). Укажіть значення x, для яких напруга максимальна.
в) Чому дорівнює струм у точках x=0, x=l/2=1/2(5πс/2ω) і х=l=5πс/2ω?
г) Вважаючи джерело напруги ідеальним, визначте середній момент сил, який має бути прикладений до його ротора, щоб останній обертався з кутовою швидкістю ω.
24.6. Покажіть, що якщо при x=l лінію передачі замкнено (увімкнено елемент з імпедансом ZT), то імпеданс на «вході» лінії (x=0) дорівнює
де Z0=√L/C— характеристичний імпеданс лінії. Чому дорівнює Zs, якщо
а) ZT=0?
б) ZT=∞?
в) ZT=Z0?
24.7. Лінія передачі з характеристичним імпедансом Z1 з'єднана з іншою лінією з характеристичним імпедансом Z2.
Покажіть, що якщо система працює від генератора, підключеного до першої лінії (Z1), «коефіцієнт відбиття», який визначається відношенням Vвідб/Vпад, дорівнює
24.5. Коаксіальний кабель складається з двох концентричних провідних циліндрів. Один кінець (x=0) кабелю під'єднано до генератора змінної напруги V(t)=V0cosωt. Другий кінець (x=l) закритий провідною пластиною. Індуктивність і ємність одиниці довжини кабелю дорівнюють L0 і С0. Поле в такому кабелі можна подати у вигляді суперпозиції двох хвиль: падної та відбитої від закороченого кінця. Амплітуди й фази цих хвиль мають бути підібрані так, щоб сумарна напруга між провідниками дорівнювала нулю при x=l і V0cosωt при x=0.
а) Напишіть вирази для падної та відбитої хвиль.
б) Накресліть криву залежності напруги між провідниками від відстані x, якщо довжина кабелю / дорівнює 5πс/2ω (с — швидкість світла). Укажіть значення x, для яких напруга максимальна.
в) Чому дорівнює струм у точках x=0, x=l/2=1/2(5πс/2ω) і х=l=5πс/2ω?
г) Вважаючи джерело напруги ідеальним, визначте середній момент сил, який має бути прикладений до його ротора, щоб останній обертався з кутовою швидкістю ω.
24.6. Покажіть, що якщо при x=l лінію передачі замкнено (увімкнено елемент з імпедансом ZT), то імпеданс на «вході» лінії (x=0) дорівнюєде Z0=√L/C— характеристичний імпеданс лінії. Чому дорівнює Zs, якщо
а) ZT=0?
б) ZT=∞?
в) ZT=Z0?
24.7. Лінія передачі з характеристичним імпедансом Z1 з'єднана з іншою лінією з характеристичним імпедансом Z2.
Покажіть, що якщо система працює від генератора, підключеного до першої лінії (Z1), «коефіцієнт відбиття», який визначається відношенням Vвідб/Vпад, дорівнює
Зображення
Зображення
24.8. Електричні поля всередині хвилеводів, описаних у розд. 24 «Лекцій», мають ту властивість, що проекція вектора напруженості електричного поля на напрямок поширення хвилі дорівнює нулю, тобто електричне поле поперечне. Крім того, можуть існувати біжучі хвилі, у яких дорівнює нулю проекція напруженості магнітного поля на напрямок поширення (так звані поперечні магнітні хвилі). Для хвилеводу у формі прямокутного паралелепіпеда (див. «Лекції», вип. 6, стор. 224, фіг. 24.3 і 24.4) векторний потенціал поперечної магнітної хвилі має вигляд
Зображення
Зображення
а) Переконайтеся, що магнітне поле, знайдене за допомогою цього потенціалу, дійсно поперечне, і покажіть, що електричне поле Е і магнітне поле В задовольняють хвильове рівняння і відповідні граничні умови.
Примітка. Ми вважаємо, що Е=–∇φ– дА/dt, B=∇xA, де ∇·А=–1/c2dφ/dt).
б) Покажіть, що поперечна магнітна хвиля не поширюється, якщо
Примітка. Ми вважаємо, що Е=–∇φ– дА/dt, B=∇xA, де ∇·А=–1/c2dφ/dt).
б) Покажіть, що поперечна магнітна хвиля не поширюється, якщо
Зображення
До розділу 25. Електродинаміка в релятивістських позначеннях
(Одиниці виміру вибрано так, що с=1.)
25.1. Запишіть у 4-векторній формі вирази
(Одиниці виміру вибрано так, що с=1.)
25.1. Запишіть у 4-векторній формі вирази
Зображення
25.2. Комптон-ефект полягає в тому, що фотон, налітаючи на нерухомий електрон, розсіюється на ньому, як частинка на частинці. Виразіть енергію розсіяного фотона через енергію падного фотона і кут відхилення його напрямку поширення від первісного.25.3. Позитрон може бути створений у результаті бомбардування нерухомого електрона фотоном:
Зображення
Яка мінімальна енергія фотона потрібна для здійснення цього процесу? Під час розв'язання задачі користуйтеся, де це можливо, 4-векторами і їхніми інваріантними комбінаціями.
25. 4. На нерухому частинку маси m налітає інша частинка з масою M та імпульсом p. У результаті цілком непружного зіткнення частинки зливаються, утворюючи нову частинку. Яка маса і швидкість цієї частинки? Порівняйте ваш результат з тим, який виходить у нерелятивістському наближенні.
До розділу 26. Лоренцові перетворення полів
(Одиниці виміру вибрано так, що с=1.)
26.1. Розпишіть докладно і обчисліть вираз
25. 4. На нерухому частинку маси m налітає інша частинка з масою M та імпульсом p. У результаті цілком непружного зіткнення частинки зливаються, утворюючи нову частинку. Яка маса і швидкість цієї частинки? Порівняйте ваш результат з тим, який виходить у нерелятивістському наближенні.
До розділу 26. Лоренцові перетворення полів
(Одиниці виміру вибрано так, що с=1.)
26.1. Розпишіть докладно і обчисліть вираз
Зображення
26.2. Знайдіть 4-вектор, просторові компоненти якого збігаються з компонентами вектора
Зображення
Який фізичний зміст часової і просторових компонент цього 4-вектора?
26.3. Покажіть, що Е2—В2 і (Е·В) інваріантні відносно перетворень Лоренца. Переконайтеся, що якщо вектори Е і В утворюють гострий кут у якійсь системі координат, то цей кут буде гострим в усіх інших системах координат. Для якого важливого фізичного явища обидва інваріанти дорівнюють нулю?
26.4. Нехай Е і В — напруженості електричного і магнітного полів у деякій точці простору в даній системі координат. Визначте швидкість іншої системи координат, в якій електричне і магнітне поля паралельні. Систем координат, що мають таку властивість, багато. Справді, якщо знайдеться хоча б одна така система координат, то зазначені вектори будуть паралельні й у всіх інших системах координат, що рухаються з постійною швидкістю відносно знайденої в напрямку, спільному для векторів Е′ і В′. Тому зручно й водночас достатньо розглянути систему координат, вектор швидкості якої перпендикулярний до векторів Е і В.
26.5. У розд. 26 «Лекцій» (вип. 6) 4-вимірний потенціал Аμ, створюваний зарядженою частинкою, що рухається з постійною швидкістю, було знайдено шляхом переходу від системи координат, де частинка нерухома, до лабораторної системи координат. Напруженості Е і В електричного і магнітного полів за допомогою Аμ визначалися згідно із загальними формулами. Знайдіть Е і В, виходячи з відомого їхнього вигляду в системі координат, де заряд нерухомий, і перейшовши до рухомої системи координат.
26.6. Покажіть, що електричне і магнітне поля заряду, який рухається з постійною швидкістю, можуть бути подані у вигляді
26.3. Покажіть, що Е2—В2 і (Е·В) інваріантні відносно перетворень Лоренца. Переконайтеся, що якщо вектори Е і В утворюють гострий кут у якійсь системі координат, то цей кут буде гострим в усіх інших системах координат. Для якого важливого фізичного явища обидва інваріанти дорівнюють нулю?
26.4. Нехай Е і В — напруженості електричного і магнітного полів у деякій точці простору в даній системі координат. Визначте швидкість іншої системи координат, в якій електричне і магнітне поля паралельні. Систем координат, що мають таку властивість, багато. Справді, якщо знайдеться хоча б одна така система координат, то зазначені вектори будуть паралельні й у всіх інших системах координат, що рухаються з постійною швидкістю відносно знайденої в напрямку, спільному для векторів Е′ і В′. Тому зручно й водночас достатньо розглянути систему координат, вектор швидкості якої перпендикулярний до векторів Е і В.
26.5. У розд. 26 «Лекцій» (вип. 6) 4-вимірний потенціал Аμ, створюваний зарядженою частинкою, що рухається з постійною швидкістю, було знайдено шляхом переходу від системи координат, де частинка нерухома, до лабораторної системи координат. Напруженості Е і В електричного і магнітного полів за допомогою Аμ визначалися згідно із загальними формулами. Знайдіть Е і В, виходячи з відомого їхнього вигляду в системі координат, де заряд нерухомий, і перейшовши до рухомої системи координат.
26.6. Покажіть, що електричне і магнітне поля заряду, який рухається з постійною швидкістю, можуть бути подані у вигляді
Зображення
де r — радіус-вектор, проведений із точки, де в даний момент перебуває заряд, у точку спостереження, а θ — кут між векторами r і v.
26.7. По дуже довгому прямому дроту тече струм I, створюваний електронами, що рухаються зі швидкістю v. Повна густина зарядів у кожній точці дроту дорівнює нулю завдяки наявності позитивно заряджених іонів.
а) Знайдіть поля поза дротом у системі координат, де дріт нерухомий. б) Знайдіть ті самі поля в системі координат, що рухається разом з електронами. У «Лекціях» електричне поле в такій системі координат було знайдено іншим методом [див. вип. 5, стор. 271, вираз (13.28)].
26.8. Два електрони з однаковою швидкістю v рухаються паралельно один одному по обидва боки від нескінченної позитивно зарядженої площини на відстані a від неї; густина нерухомих поверхневих зарядів дорівнює σ.
а) При якій величині σ відстань між електронами залишатиметься рівною 2 а?
б) Порівняйте величину σ, яка виходить для електронів з енергією 500 МеВ, з тією, що буде у випадку повільно рухомих електронів.
26.9. Нехай fμ— 4-вектор сили, що діє на частинку, а uμ—4-вектор її швидкості. Покажіть, що
26.7. По дуже довгому прямому дроту тече струм I, створюваний електронами, що рухаються зі швидкістю v. Повна густина зарядів у кожній точці дроту дорівнює нулю завдяки наявності позитивно заряджених іонів.
а) Знайдіть поля поза дротом у системі координат, де дріт нерухомий. б) Знайдіть ті самі поля в системі координат, що рухається разом з електронами. У «Лекціях» електричне поле в такій системі координат було знайдено іншим методом [див. вип. 5, стор. 271, вираз (13.28)].
26.8. Два електрони з однаковою швидкістю v рухаються паралельно один одному по обидва боки від нескінченної позитивно зарядженої площини на відстані a від неї; густина нерухомих поверхневих зарядів дорівнює σ.а) При якій величині σ відстань між електронами залишатиметься рівною 2 а?
б) Порівняйте величину σ, яка виходить для електронів з енергією 500 МеВ, з тією, що буде у випадку повільно рухомих електронів.
26.9. Нехай fμ— 4-вектор сили, що діє на частинку, а uμ—4-вектор її швидкості. Покажіть, що
Зображення
26.10. Частинка із зарядом q рухається з постійною швидкістю в площині ху уздовж траєкторії, зображеної на рисунку пунктирною лінією (на початку координат частинка розсіюється). Величина швидкості частинки вздовж усієї траєкторії залишається постійною. У момент часу t= t1 частинка перебуває в точці x=a, y=0.а) Знайдіть електричне поле в точці P (x=y=a) при t= t1, якщо v/с=0,5 (с — швидкість світла).
б) Як змінилася б ваша відповідь, якби до розсіювання на початку координат частинка рухалася вздовж осі y?
До розділу 27. Енергія поля та його імпульс
27.1. Методом, використаним у «Лекціях» (вип. 6, стор. 288) під час виведення виразу (27.11), подайте в іншому вигляді вирази
Зображення
27.2. Виразіть у мегатоннах (мгт) енергію магнітного поля Землі, що міститься в усьому просторі, зовнішньому щодо Землі (1 мгт — енергія, що вивільняється під час вибуху 1 млн. тонн тринітротолуолу, тобто 4,2·1015 дж). Припустіть, що магнітне поле Землі — це поле диполя з напруженістю на екваторі приблизно близько 2/3 гс (2/3·10–4 вебер/м2).
Як ви вважаєте, чи може воднева бомба в 1 мгт, підірвана високо над поверхнею Землі, істотно спотворити магнітне поле Землі?
27.3. Обчисліть потік вектора Пойнтінга S через поверхню довгого прямолінійного дроту, опір одиниці довжини якого дорівнює R. Порівняйте ваш результат з омічними втратами.
27.4. Довгий коаксіальний кабель виготовлений з двох ідеально провідних концентричних циліндрів. Один кінець кабелю під'єднано до електричної батареї, напруга на клемах якої дорівнює V. До другого кінця кабелю приєднано опір R. Отже, струм, що протікає по кабелю, дорівнює I=V/R. За допомогою вектора Пойнтінга обчисліть швидкість потоку енергії.
27.5. Середня потужність, що випромінюється радіомовною станцією, становить приблизно 10 квт.
а) Чому дорівнює величина вектора Пойнтінга на поверхні Землі в точках, віддалених від станції на 10 км? На такій відстані випромінювані хвилі можна вважати плоскими. Розумно припустити, що вся потужність випромінюється 1/4λ антеною, розміщеною над ідеально провідною площиною.
б) Знайдіть максимальні значення напруженостей електричного і магнітного полів.
27.6. Поля, що відповідають найнижчій за частотою поперечній електричній хвилі у хвилеводі прямокутного перерізу (див. фіг. 24.6, вип. 6 «Лекцій», стор. 227), мають вигляд
Як ви вважаєте, чи може воднева бомба в 1 мгт, підірвана високо над поверхнею Землі, істотно спотворити магнітне поле Землі?
27.3. Обчисліть потік вектора Пойнтінга S через поверхню довгого прямолінійного дроту, опір одиниці довжини якого дорівнює R. Порівняйте ваш результат з омічними втратами.
27.4. Довгий коаксіальний кабель виготовлений з двох ідеально провідних концентричних циліндрів. Один кінець кабелю під'єднано до електричної батареї, напруга на клемах якої дорівнює V. До другого кінця кабелю приєднано опір R. Отже, струм, що протікає по кабелю, дорівнює I=V/R. За допомогою вектора Пойнтінга обчисліть швидкість потоку енергії.
27.5. Середня потужність, що випромінюється радіомовною станцією, становить приблизно 10 квт.
а) Чому дорівнює величина вектора Пойнтінга на поверхні Землі в точках, віддалених від станції на 10 км? На такій відстані випромінювані хвилі можна вважати плоскими. Розумно припустити, що вся потужність випромінюється 1/4λ антеною, розміщеною над ідеально провідною площиною.
б) Знайдіть максимальні значення напруженостей електричного і магнітного полів.
27.6. Поля, що відповідають найнижчій за частотою поперечній електричній хвилі у хвилеводі прямокутного перерізу (див. фіг. 24.6, вип. 6 «Лекцій», стор. 227), мають вигляд
Зображення
а) Покажіть, що наведений вище розв'язок задовольняє граничні умови задачі.
б) Обчисліть вектор Пойнтінга S і густину енергії U.
в) Обчисліть середній потік енергії через поверхню, перпендикулярну до осі z.
г) Обчисліть середню густину енергії у хвилеводі.
д) Користуючись результатами пунктів (в) і (г), обчисліть середню швидкість поширення енергії. Покажіть, що ця швидкість збігається з груповою швидкістю [див. формулу (24.27), вип. 6, стор. 229].
27.7. а) Знайдіть густину потоку енергії, що випромінюється диполем з коливним дипольним моментом р cosω t.
Примітка. Слід брати до уваги лише члени, що спадають з відстанню за законом 1/r.
б) Шляхом інтегрування по поверхні сфери великого радіуса, центр якої збігається з диполем, покажіть, що середня випромінювана потужність дорівнює
б) Обчисліть вектор Пойнтінга S і густину енергії U.
в) Обчисліть середній потік енергії через поверхню, перпендикулярну до осі z.
г) Обчисліть середню густину енергії у хвилеводі.
д) Користуючись результатами пунктів (в) і (г), обчисліть середню швидкість поширення енергії. Покажіть, що ця швидкість збігається з груповою швидкістю [див. формулу (24.27), вип. 6, стор. 229].
27.7. а) Знайдіть густину потоку енергії, що випромінюється диполем з коливним дипольним моментом р cosω t.
Примітка. Слід брати до уваги лише члени, що спадають з відстанню за законом 1/r.
б) Шляхом інтегрування по поверхні сфери великого радіуса, центр якої збігається з диполем, покажіть, що середня випромінювана потужність дорівнює
Зображення
27.8. Плоска електромагнітна хвиля, падаючи на вільний електрон, змушує його коливатися. Знайдіть відношення енергії, що випромінюється електроном за одиницю часу, до густини потоку енергії падної електромагнітної хвилі. Частота хвилі припускається малою. Тому впливом магнітного поля В хвилі на рух електрона можна знехтувати.
27.9. Частинка пилу в Сонячній системі зазнає дії двох сил: сили тяжіння до Сонця і планет та сили тиску світла, пропорційної її поперечному перерізу. Існує такий розмір частинки, при якому ці сили врівноважують одна одну. Припускаючи, що частинка має форму кульки і поглинає все світло, яке падає на неї, знайдіть радіус частинки, що відповідає її рівновазі в полі цих двох сил. Пояснення того факту, що «хвости» комет спрямовані в бік від Сонця, ґрунтується на припущенні про існування такої рівноваги і про те, що «хвіст» комети складається з частинок малого розміру, можливо навіть з молекул газу. Чи розумне таке пояснення? Потужність, що випромінюється Сонцем, дорівнює 4·1026 вт, його маса 2·1030 кг.
27.10. На порожнистий тороїд, середній радіус якого дорівнює R, а радіус поперечного перерізу r (r << R), намотано N витків дроту. У момент часу t=0 по дроту пропускається струм, сила якого зростає з часом за лінійним законом
27.9. Частинка пилу в Сонячній системі зазнає дії двох сил: сили тяжіння до Сонця і планет та сили тиску світла, пропорційної її поперечному перерізу. Існує такий розмір частинки, при якому ці сили врівноважують одна одну. Припускаючи, що частинка має форму кульки і поглинає все світло, яке падає на неї, знайдіть радіус частинки, що відповідає її рівновазі в полі цих двох сил. Пояснення того факту, що «хвости» комет спрямовані в бік від Сонця, ґрунтується на припущенні про існування такої рівноваги і про те, що «хвіст» комети складається з частинок малого розміру, можливо навіть з молекул газу. Чи розумне таке пояснення? Потужність, що випромінюється Сонцем, дорівнює 4·1026 вт, його маса 2·1030 кг.
27.10. На порожнистий тороїд, середній радіус якого дорівнює R, а радіус поперечного перерізу r (r << R), намотано N витків дроту. У момент часу t=0 по дроту пропускається струм, сила якого зростає з часом за лінійним законом
Зображення
а) Знайдіть магнітне поле й енергію, запасену в тороїді до моменту часу t.
б) Знайдіть напрямок і величину вектора Пойнтінга в будь-якій внутрішній точці тороїда в момент часу t.
в) Використовуючи вектор Пойнтінга, знайдіть швидкість зміни з часом енергії електромагнітного поля всередині тороїда в довільний момент часу. Переконайтеся в правильності вашої відповіді, використовуючи розв'язок до пункту (а) задачі.
До розділу 28. Електромагнітна маса
28.1. Припускаючи, що енергія спокою електрона збігається з його електростатичною енергією і що заряд електрона рівномірно розподілений за об'ємом сфери, обчисліть радіус цієї сфери. Порівняйте отриманий результат з виразом Uел=е2/2а [вип. 6, стор. 303, формула (28.2)].
28.2. Добре відомо, що електрони, крім заряду й маси, мають ще й власний момент кількості руху (спін) та магнітний момент, які пов'язані співвідношенням
б) Знайдіть напрямок і величину вектора Пойнтінга в будь-якій внутрішній точці тороїда в момент часу t.
в) Використовуючи вектор Пойнтінга, знайдіть швидкість зміни з часом енергії електромагнітного поля всередині тороїда в довільний момент часу. Переконайтеся в правильності вашої відповіді, використовуючи розв'язок до пункту (а) задачі.
До розділу 28. Електромагнітна маса
28.1. Припускаючи, що енергія спокою електрона збігається з його електростатичною енергією і що заряд електрона рівномірно розподілений за об'ємом сфери, обчисліть радіус цієї сфери. Порівняйте отриманий результат з виразом Uел=е2/2а [вип. 6, стор. 303, формула (28.2)].
28.2. Добре відомо, що електрони, крім заряду й маси, мають ще й власний момент кількості руху (спін) та магнітний момент, які пов'язані співвідношенням
Зображення
Це співвідношення виконується з точністю до 0,1%. Припускатимемо, що вся маса електрона електромагнітна, тобто Ме.м.=2е2/3ас2 [див. вип. 6, стор. 305, формула (28.4)].
а) У центрі однорідно зарядженої сферичної оболонки радіуса а і з повним зарядом q помістіть магнітний диполь з магнітним моментом μ і покажіть, що момент кількості руху електромагнітного поля дорівнює
а) У центрі однорідно зарядженої сферичної оболонки радіуса а і з повним зарядом q помістіть магнітний диполь з магнітним моментом μ і покажіть, що момент кількості руху електромагнітного поля дорівнює
Зображення
б) Визначте відношення моменту кількості руху до магнітного моменту і порівняйте це відношення з величиною m/q.
в) Вважаючи, що μz електрона дорівнює hq/2m, обчисліть максимальну швидкість електрона на поверхні, що зумовлює дане значення магнітного моменту. Наведіть необхідні, з вашого погляду, пояснення. Величина (4πε0ch/q2)=1/α дорівнює 137.
До розділу 29. Рух зарядів в електричному і магнітному полях
29.1. Заряджена частинка (заряд q, маса спокою m0) у момент часу t=0 перебуває в спокої на початку координат. Потім на неї починає діяти постійне електричне поле, спрямоване вздовж осі x.
а) Обчисліть релятивістську швидкість і координати частинки як функції часу.
б) Як зміниться ваша відповідь, якщо в початковий момент частинка мала швидкість v0, спрямовану вздовж осі у?
29.2. У циклотроні протони рухаються в однорідному магнітному полі по колових траєкторіях. Знайдіть залежність «циклотронної частоти» і кутової швидкості протонів від q, В, m для протонів низької енергії. Як зміниться значення циклотронної частоти при збільшенні енергії? При якій зміні енергії частота зміниться на 1%?
29.3. У момент часу t=0 частинка маси m із зарядом q перебуває в спокої на початку координат. На частинку діє однорідне електричне поле Е, спрямоване по осі y, та однорідне магнітне поле В, спрямоване по осі z.
а) Знайдіть подальший рух частинки, тобто її координати x(t), y(t), z(t), вважаючи рух нерелятивістським. Яку умову на Е і В накладає це припущення?
б) Який характер матиме рух у тому випадку, якщо Е/В>с?
в) Нехай різниця потенціалів між двома паралельними пластинами, одна з яких збігається з площиною xz (y=0), а друга перебуває на відстані d (y=d), дорівнює V0=E·d, і між пластинами прикладено магнітне поле, паралельне пластинам. Нехай кінетична енергія електронів, що вилітають з негативно зарядженої пластини, дорівнює нулю. При якому значенні напруженості магнітного поля випущені електрони не досягатимуть другої пластини?
29.4. Принцип фокусування частинок у неоднорідному полі може бути продемонстрований за допомогою такої оптичної моделі:
Навіть при однакових за модулем фокусних відстанях лінз існують умови, коли така система фокусуватиме.
а) Визначте залежність / від d для світла, що падає вздовж оптичної осі.
б) При яких умовах зображення буде дійсним, при яких — уявним?
в) Вважаючи, що μz електрона дорівнює hq/2m, обчисліть максимальну швидкість електрона на поверхні, що зумовлює дане значення магнітного моменту. Наведіть необхідні, з вашого погляду, пояснення. Величина (4πε0ch/q2)=1/α дорівнює 137.
До розділу 29. Рух зарядів в електричному і магнітному полях
29.1. Заряджена частинка (заряд q, маса спокою m0) у момент часу t=0 перебуває в спокої на початку координат. Потім на неї починає діяти постійне електричне поле, спрямоване вздовж осі x.
а) Обчисліть релятивістську швидкість і координати частинки як функції часу.
б) Як зміниться ваша відповідь, якщо в початковий момент частинка мала швидкість v0, спрямовану вздовж осі у?
29.2. У циклотроні протони рухаються в однорідному магнітному полі по колових траєкторіях. Знайдіть залежність «циклотронної частоти» і кутової швидкості протонів від q, В, m для протонів низької енергії. Як зміниться значення циклотронної частоти при збільшенні енергії? При якій зміні енергії частота зміниться на 1%?
29.3. У момент часу t=0 частинка маси m із зарядом q перебуває в спокої на початку координат. На частинку діє однорідне електричне поле Е, спрямоване по осі y, та однорідне магнітне поле В, спрямоване по осі z.
а) Знайдіть подальший рух частинки, тобто її координати x(t), y(t), z(t), вважаючи рух нерелятивістським. Яку умову на Е і В накладає це припущення?
б) Який характер матиме рух у тому випадку, якщо Е/В>с?
в) Нехай різниця потенціалів між двома паралельними пластинами, одна з яких збігається з площиною xz (y=0), а друга перебуває на відстані d (y=d), дорівнює V0=E·d, і між пластинами прикладено магнітне поле, паралельне пластинам. Нехай кінетична енергія електронів, що вилітають з негативно зарядженої пластини, дорівнює нулю. При якому значенні напруженості магнітного поля випущені електрони не досягатимуть другої пластини?
29.4. Принцип фокусування частинок у неоднорідному полі може бути продемонстрований за допомогою такої оптичної моделі:Навіть при однакових за модулем фокусних відстанях лінз існують умови, коли така система фокусуватиме.
а) Визначте залежність / від d для світла, що падає вздовж оптичної осі.
б) При яких умовах зображення буде дійсним, при яких — уявним?