До розділу 32. Показник заломлення щільної речовини
32.1. У «Лекціях» розглядалося поширення хвиль у речовині, що складається з неполярних частинок. Було показано, що квадрат показника заломлення при низьких частотах дорівнює діелектричній проникності. Чи буде цей висновок правильним для інших (ізотропних) речовин?
32.2. На частоті приблизно 6 Мгц іоносфера стає прозорою. У межах моделі вільних електронів оцініть густину електронів в іоносфері.
32.3. До металу протягом довгого часу прикладено постійне електричне поле, а потім його миттєво вимкнено. Користуючись моделлю вільних електронів, покажіть, що час релаксації (тобто час, протягом якого дрейфова швидкість електронів спадає в e разів) дорівнює т, де т — середній час між зіткненнями.
32.4. Усередині металу існують розв'язки рівнянь Максвелла, що мають вигляд плоских хвиль:
32.1. У «Лекціях» розглядалося поширення хвиль у речовині, що складається з неполярних частинок. Було показано, що квадрат показника заломлення при низьких частотах дорівнює діелектричній проникності. Чи буде цей висновок правильним для інших (ізотропних) речовин?
32.2. На частоті приблизно 6 Мгц іоносфера стає прозорою. У межах моделі вільних електронів оцініть густину електронів в іоносфері.
32.3. До металу протягом довгого часу прикладено постійне електричне поле, а потім його миттєво вимкнено. Користуючись моделлю вільних електронів, покажіть, що час релаксації (тобто час, протягом якого дрейфова швидкість електронів спадає в e разів) дорівнює т, де т — середній час між зіткненнями.
32.4. Усередині металу існують розв'язки рівнянь Максвелла, що мають вигляд плоских хвиль:
Зображення
де k — комплексне число. Для низьких частот
Зображення
а) Напишіть вираз для магнітного поля такої хвилі.
б) Який кут утворюють вектори Е і В для довільного z?
в) Яка різниця фаз векторів Е і В?
[Якщо момент часу t1 відповідає максимальній величині Е, а t2 — максимальній величині В, то різниця фаз визначається як ±ω(t1-t2).]
32.5. Під час виведення виразу (32.50) «Лекцій» (вип. 7, стор. 66) припускалося, що в металі перехід від дійсних значень n2 до уявних в ультрафіолетовій області дуже різкий. У досліді ж такого різкого переходу не спостерігається. Покажіть, що за допомогою вдалішої апроксимації n2 теорію можна узгодити з експериментом.
До розділу 33. Відбиття від поверхні
33.1. а) Визначте коефіцієнт пропускання для плоскої електромагнітної хвилі, що проходить через тришаровий діелектрик.
б) Покажіть, що у випадку n2=√n1n3 і l = λ2/4 коефіцієнт пропускання дорівнює одиниці. (Покриття такого роду використовуються для «просвітлення» оптики у хороших фотокамерах і біноклях.)
в) Яка товщина l для звичайного бінокля, тобто для оптичного діапазону довжин хвиль?
г) Чи можна просвітлювати одну сторону лінзи? Чи важливо, яка сторона покрита плівкою? Чому?
33.2. Промінь світла з довжиною хвилі 4500 Å (у вакуумі) падає на призму і повністю відбивається на кут 90°. Показник заломлення призми 1,6. Обчисліть відстань від довгої сторони призми, на якій напруженість електричного поля зменшується в e разів порівняно з її значенням на поверхні. Припускається, що світло поляризоване так, що вектор Е перпендикулярний до площини падіння. Чи зміниться ваша відповідь, якщо Е лежить у площині падіння?
До розділу 34. Магнетизм речовини
34.1. Заряджена частинка рухається в площині, перпендикулярній до однорідного магнітного поля В. Покажіть, що якщо В змінюється повільно, магнітний момент орбітального руху частинки залишається постійним. Що ми розуміємо під словом «повільно»?
До розділу 35. Парамагнетизм і магнітний резонанс
35.1. У циклотроні, розрахованому на низькі енергії, період обертання протонів по круговій орбіті становить 0,13 мкс. Ядерний магнітний резонанс для протона в магнітному полі циклотрона настає за частоти 21 Мгц. Визначте за цими даними g-фактор протона.
35.2. Виведіть формулу (35.9) способом, зазначеним у розд. 35 (вип. 7, стор. 124). Чи перебуває це виведення у суперечності з твердженням, що міститься в розд. 34 (вип. 7, стор. 104), про те, що в рамках класичної фізики парамагнетизм відсутній?
35.3. У 1 см3 парамагнітної солі міститься 1022 атомів з магнітним моментом в один магнетон Бора кожен.
Сіль поміщається в однорідне магнітне поле напруженістю 10 000 гс (1 вебер/м2). Виразіть у відсотках надлишок спінів, паралельних полю, за кімнатної температури та за температури рідкого гелію.
35.4. Користуючись виведенням, наведеним у розд. 35, для спіну 1/2, знайдіть квантовомеханічний вираз для парамагнітної сприйнятливості частинок зі спіном 1.
До розділу 36. Феромагнетизм
36.1. Куля радіуса a однорідно намагнічена так, що її повний магнітний момент дорівнює 4/3πа3М, де M — намагніченість. Якими мають бути поверхневі струми, що створюють магнітне поле поза кулею (тих самих розмірів), яке збігається з полем, створюваним намагніченою кулею? Покажіть, що знайдений розподіл струмів має такий самий повний магнітний момент.
36.2. Осердя магніту виготовлено з м'якого заліза й обмотано 2150 витками дроту, яким тече струм силою 5 а. Товщина осердя (у напрямку, перпендикулярному до площини малюнка) постійна й дорівнює 28 см. Крива залежності B від H для матеріалу каркаса наведена на нижньому малюнку.
Оцініть величину магнітного поля в повітряному зазорі магніту. (Усі розміри в сантиметрах.) Які ті головні ефекти, якими слід знехтувати під час розв'язання задачі?
Примітка. Оскільки емпірична залежність B від H має нелінійний характер, не треба бентежитися, що задача не розв'язується аналітично й точно.
б) Який кут утворюють вектори Е і В для довільного z?
в) Яка різниця фаз векторів Е і В?
[Якщо момент часу t1 відповідає максимальній величині Е, а t2 — максимальній величині В, то різниця фаз визначається як ±ω(t1-t2).]
32.5. Під час виведення виразу (32.50) «Лекцій» (вип. 7, стор. 66) припускалося, що в металі перехід від дійсних значень n2 до уявних в ультрафіолетовій області дуже різкий. У досліді ж такого різкого переходу не спостерігається. Покажіть, що за допомогою вдалішої апроксимації n2 теорію можна узгодити з експериментом.
До розділу 33. Відбиття від поверхні
33.1. а) Визначте коефіцієнт пропускання для плоскої електромагнітної хвилі, що проходить через тришаровий діелектрик.б) Покажіть, що у випадку n2=√n1n3 і l = λ2/4 коефіцієнт пропускання дорівнює одиниці. (Покриття такого роду використовуються для «просвітлення» оптики у хороших фотокамерах і біноклях.)
в) Яка товщина l для звичайного бінокля, тобто для оптичного діапазону довжин хвиль?
г) Чи можна просвітлювати одну сторону лінзи? Чи важливо, яка сторона покрита плівкою? Чому?
33.2. Промінь світла з довжиною хвилі 4500 Å (у вакуумі) падає на призму і повністю відбивається на кут 90°. Показник заломлення призми 1,6. Обчисліть відстань від довгої сторони призми, на якій напруженість електричного поля зменшується в e разів порівняно з її значенням на поверхні. Припускається, що світло поляризоване так, що вектор Е перпендикулярний до площини падіння. Чи зміниться ваша відповідь, якщо Е лежить у площині падіння?До розділу 34. Магнетизм речовини
34.1. Заряджена частинка рухається в площині, перпендикулярній до однорідного магнітного поля В. Покажіть, що якщо В змінюється повільно, магнітний момент орбітального руху частинки залишається постійним. Що ми розуміємо під словом «повільно»?
До розділу 35. Парамагнетизм і магнітний резонанс
35.1. У циклотроні, розрахованому на низькі енергії, період обертання протонів по круговій орбіті становить 0,13 мкс. Ядерний магнітний резонанс для протона в магнітному полі циклотрона настає за частоти 21 Мгц. Визначте за цими даними g-фактор протона.
35.2. Виведіть формулу (35.9) способом, зазначеним у розд. 35 (вип. 7, стор. 124). Чи перебуває це виведення у суперечності з твердженням, що міститься в розд. 34 (вип. 7, стор. 104), про те, що в рамках класичної фізики парамагнетизм відсутній?
35.3. У 1 см3 парамагнітної солі міститься 1022 атомів з магнітним моментом в один магнетон Бора кожен.
Сіль поміщається в однорідне магнітне поле напруженістю 10 000 гс (1 вебер/м2). Виразіть у відсотках надлишок спінів, паралельних полю, за кімнатної температури та за температури рідкого гелію.
35.4. Користуючись виведенням, наведеним у розд. 35, для спіну 1/2, знайдіть квантовомеханічний вираз для парамагнітної сприйнятливості частинок зі спіном 1.
До розділу 36. Феромагнетизм
36.1. Куля радіуса a однорідно намагнічена так, що її повний магнітний момент дорівнює 4/3πа3М, де M — намагніченість. Якими мають бути поверхневі струми, що створюють магнітне поле поза кулею (тих самих розмірів), яке збігається з полем, створюваним намагніченою кулею? Покажіть, що знайдений розподіл струмів має такий самий повний магнітний момент.
36.2. Осердя магніту виготовлено з м'якого заліза й обмотано 2150 витками дроту, яким тече струм силою 5 а. Товщина осердя (у напрямку, перпендикулярному до площини малюнка) постійна й дорівнює 28 см. Крива залежності B від H для матеріалу каркаса наведена на нижньому малюнку.
Оцініть величину магнітного поля в повітряному зазорі магніту. (Усі розміри в сантиметрах.) Які ті головні ефекти, якими слід знехтувати під час розв'язання задачі?
Примітка. Оскільки емпірична залежність B від H має нелінійний характер, не треба бентежитися, що задача не розв'язується аналітично й точно.
Зображення
36 3. Система складається з постійного магніту та двох полюсів, виготовлених з м'якого заліза. Пропусканням сильного струму по зовнішній обмотці брусок намагнічується до точки P на кривій залежності M від H. Знайдіть напруженість магнітного поля в зазорі після вимкнення струму, вважаючи, що магнітна проникність м'якого заліза нескінченна, і нехтуючи витіканням магнітного потоку на краях зазору
Зображення
36.4. Дуже довгий залізний стрижень у формі циліндра однорідно намагнічений так, що вектор намагніченості М напрямлений уздовж осі циліндра. Знайдіть B і H усередині стрижня, нехтуючи крайовими ефектами. Чому дорівнюватиме магнітна індукція В у центрі голчастої порожнини, якщо її вирізати вздовж осі стрижня?
До розділу 38. Пружність
38.1. У ракетній техніці потрібні конструкції, які мають максимальну міцність за мінімальної ваги.
а) Порівняйте радіуси двох циліндричних стрижнів з алюмінію та зі сталі, що мають однакову жорсткість і довжину. (Жорсткість визначається як відношення прикладеної поперек стрижня сили до результуючого зміщення.)
б) Чи сильно відрізняються маси цих стрижнів?
38.2. Алюмінієвий стрижень квадратного перерізу одним кінцем защемлений, а до вільного його кінця прикріплена маса m. Знайдіть власну частоту коливань такої системи, якщо площа перерізу стрижня дорівнює а2, його маса у багато разів менша за масу m; розмірами самої маси m можна знехтувати.
38.3. На початку курсу (вип. 4, стор.163) швидкість звуку в рідині визначалася як похідна тиску за густиною. Покажіть, що для поздовжніх хвиль у твердому тілі (плоскі хвилі стиснення) фазова швидкість визначається виразом
До розділу 38. Пружність
38.1. У ракетній техніці потрібні конструкції, які мають максимальну міцність за мінімальної ваги.
а) Порівняйте радіуси двох циліндричних стрижнів з алюмінію та зі сталі, що мають однакову жорсткість і довжину. (Жорсткість визначається як відношення прикладеної поперек стрижня сили до результуючого зміщення.)
б) Чи сильно відрізняються маси цих стрижнів?
38.2. Алюмінієвий стрижень квадратного перерізу одним кінцем защемлений, а до вільного його кінця прикріплена маса m. Знайдіть власну частоту коливань такої системи, якщо площа перерізу стрижня дорівнює а2, його маса у багато разів менша за масу m; розмірами самої маси m можна знехтувати.38.3. На початку курсу (вип. 4, стор.163) швидкість звуку в рідині визначалася як похідна тиску за густиною. Покажіть, що для поздовжніх хвиль у твердому тілі (плоскі хвилі стиснення) фазова швидкість визначається виразом
Зображення
де σ — коефіцієнт Пуассона; Y — модуль Юнга. Ця формула справедлива лише для поздовжньої хвилі в «безмежному» середовищі. У такій хвилі частинки рухаються паралельно напрямку поширення. Поперечного ж зміщення частинок у поздовжній хвилі немає, на відміну від того, що має місце, скажімо, при стисненні стрижня, коли поперечні розміри стрижня збільшуються. Якими, на вашу думку, мають бути розміри тіла, щоб наведений вище вираз для фазової швидкості був справедливий?
38.4. Сталева лінійка довжиною L =30 см, шириною а=1,5 см і товщиною b=0,08 см кінцями впирається у дві планки, прибиті до столу на відстані l=29 см одна від одної, як показано на малюнку.
а) Якою кривою описується форма зігнутої лінійки?
б) Яка сила, з якою лінійка впирається у планки?
38.5. Нижній кінець вертикального стрижня защемлений, а до його верхнього вільного кінця прикладена сила. Довжина стрижня дорівнює L. Поперечний переріз стрижня має форму прямокутника зі сторонами t(товщина) і w (ширина). Визначте силу, що призводить до показаної на малюнку деформації стрижня.
До розділу 40. Течія «сухої» води
40.1. а) Доведіть справедливість зробленого в розд. 40 (вип. 7) твердження про те, що в нев'язкій рідині тиск однаковий в усіх напрямках.
б) Як математичну вправу доведіть дуже корисну векторну тотожність, використану в розд. 40:
38.4. Сталева лінійка довжиною L =30 см, шириною а=1,5 см і товщиною b=0,08 см кінцями впирається у дві планки, прибиті до столу на відстані l=29 см одна від одної, як показано на малюнку.а) Якою кривою описується форма зігнутої лінійки?
б) Яка сила, з якою лінійка впирається у планки?
38.5. Нижній кінець вертикального стрижня защемлений, а до його верхнього вільного кінця прикладена сила. Довжина стрижня дорівнює L. Поперечний переріз стрижня має форму прямокутника зі сторонами t(товщина) і w (ширина). Визначте силу, що призводить до показаної на малюнку деформації стрижня.До розділу 40. Течія «сухої» води
40.1. а) Доведіть справедливість зробленого в розд. 40 (вип. 7) твердження про те, що в нев'язкій рідині тиск однаковий в усіх напрямках.
б) Як математичну вправу доведіть дуже корисну векторну тотожність, використану в розд. 40:
Зображення
40.2. Рідина обертається в циліндрі кругового перерізу з постійною кутовою швидкістю ω. Знайдіть форму лійки, що утворюється на поверхні рідини, якщо на відстані r від осі частинка рідини обертається зі швидкістю v=ωr. Покажіть, що циркуляція рідини, віднесена до одиниці площі, тобто rot v, дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання рідини.
40.3. Куля маси m і радіуса a рухається з постійною швидкістю в «сухій» воді. Покажіть, що сума кінетичних енергій кулі і рідини дорівнює
40.3. Куля маси m і радіуса a рухається з постійною швидкістю в «сухій» воді. Покажіть, що сума кінетичних енергій кулі і рідини дорівнює
Зображення
де M — маса рідини, витісненої кулею. Чому дорівнює сумарний імпульс кулі та рідини?
До розділу 41. Течія «мокрої» води
41.1. Якщо куля радіуса a рухається в в'язкій рідині рівномірно й досить повільно, так що потік рідини, яка обтікає кулю, можна вважати ламінарним, то сила, що змушує її рухатися, дорівнює в'язкій силі тертя, яка діє з боку рідини на кулю. Хоча цю силу ви можете визначити точно, становить інтерес знайти для неї вираз із міркувань розмірностей, перелічивши всі параметри, від яких ця сила може залежати. Зробіть це. Чи можете ви якісно обґрунтувати, чому параметри входять у знайдений вираз саме так, а не інакше?
41.2. Повільний потік в'язкої рідини в циліндричній трубці можна вважати ламінарним, причому профіль швидкостей потоку виглядає приблизно так, як показано на малюнку. Покажіть, що якщо r — відстань від осі трубки, η — коефіцієнт в'язкості, а (Р1 — P2)/L — перепад тиску на одиницю довжини трубки, то профіль швидкостей у рідині описується виразом
До розділу 41. Течія «мокрої» води
41.1. Якщо куля радіуса a рухається в в'язкій рідині рівномірно й досить повільно, так що потік рідини, яка обтікає кулю, можна вважати ламінарним, то сила, що змушує її рухатися, дорівнює в'язкій силі тертя, яка діє з боку рідини на кулю. Хоча цю силу ви можете визначити точно, становить інтерес знайти для неї вираз із міркувань розмірностей, перелічивши всі параметри, від яких ця сила може залежати. Зробіть це. Чи можете ви якісно обґрунтувати, чому параметри входять у знайдений вираз саме так, а не інакше?
41.2. Повільний потік в'язкої рідини в циліндричній трубці можна вважати ламінарним, причому профіль швидкостей потоку виглядає приблизно так, як показано на малюнку. Покажіть, що якщо r — відстань від осі трубки, η — коефіцієнт в'язкості, а (Р1 — P2)/L — перепад тиску на одиницю довжини трубки, то профіль швидкостей у рідині описується виразом
Зображення
За аналогією із законом Ома пропускну здатність трубки Q можна пов'язати з перепадом тиску ΔP=P1 — Р2 співвідношенням
Зображення
де R — опір трубки. Знайдіть опір R для трубок радіуса a і довжини L. Як ви думаєте, проведення подібної аналогії — лише проста гра слів чи є підстави вважати такі аналогії корисними? Що є аналогом конденсатора?41.3. Дно широкого басейну вкрите тонким шаром води (будь-якої «нестисливої» рідини з в'язкістю η). На поверхні води плаває тонка дерев'яна дошка, «дно» якої перебуває на відстані d від дна басейну. Усі інші розміри дошки у багато разів більші за d. Дошка рухається горизонтально з малою швидкістю v. Чому дорівнює швидкість дисипації енергії в одиниці об'єму у воді поблизу середини дошки?