Скалярний добуток

Те, що відстань від якоїсь точки до початку координат не змінюється при повороті, якщо хочете,— щаслива випадковість. Математично це означає, що r²=x²+y²+z² є інваріантом. Іншими словами, після повороту   r′²=r²   або

Виникає питання: чи існує подібна величина, яка інваріантна при перетвореннях Лоренца? Так, існує. З (25.1) ви бачите, що

Вона була б усім хороша, якби тільки не залежала від нашого вибору осі x. Але цей недолік легко виправити відніманням у² і z². Тоді перетворення Лоренца плюс обертання залишають її незмінною. Таким чином, роль величини, аналогічної тривимірному r² у чотиривимірному просторі, відіграє комбінація

Вона є інваріантом так званої «повної групи Лоренца», яка включає як переміщення зі сталою швидкістю, так і обертання.
 
Далі, оскільки ця інваріантність являє собою алгебраїчну властивість, що залежить тільки від правил перетворення (25.1) плюс обертання, то вона справедлива для будь-якого чотиривектора. (Усі вони, за визначенням, перетворюються однаковим  чином.) Так що для будь-якого чотиривектора а_μ

Цю величину ми будемо називати квадратом «довжини» чотиривектора а_μ . (Будьте уважні! Іноді беруть обернені знаки у всіх  доданків і квадратом довжини називають число a_x²+a_y² +a_z² –a_t².)
 
Якщо тепер у нас є два вектори а_μ і b_μ, то їхні однойменні компоненти  перетворюються   однаково,   тому   комбінація

також буде інваріантною (скалярною) величиною. (Фактично ми довели це вже в розд. 17, вип. 2.) Вийшла величина, цілком аналогічна скалярному добутку векторів. Ми так і будемо називати її скалярним добутком двох чотиривекторів. Логічно, здавалося б, і записувати його а_μ ·b_μ , щоб він навіть виглядав схожим на скалярний добуток. Але зазвичай, на жаль, так не роблять і пишуть його без крапки. І ми теж дотримуватимемося цього порядку і записуватимемо скалярний добуток   просто   а_μb_μ .   Отже,  за визначенням,

Пам'ятайте, що всюди, де ви бачите два однакових значки (замість μ, ми іноді будемо користуватися ν або іншими буквами), необхідно взяти чотири добутки і скласти їх, не забуваючи при цьому про знак мінус перед добутками просторових компонент. З урахуванням такої угоди інваріантність скалярного добутку при перетвореннях Лоренца можна записати як

Оскільки останні три доданки у формулі (25.7) являють собою просто тривимірний скалярний добуток, то часто зручніше прийняти такий запис:

Очевидно, що введену вище чотиривимірну довжину можна записати як а_μа_μ:

Але іноді зручно цю величину записати як а_μ²:

Продемонструємо тепер плідність чотиривимірного скалярного добутку. Антипротони (р) отримують на великих прискорювачах із реакції

Іншими словами, високоенергетичний протон стикається з протоном, що спочиває (наприклад, з поміщеною в пучок водневою мішенню), і якщо падаючий протон має достатню енергію, то на додачу до двох початкових протонів може народитися пара протон—антипротон.
 
Якою енергією повинен володіти падаючий протон, щоб ця реакція стала енергетично можливою?
Відповідь найлегше отримати, розглянувши цю реакцію в системі центра мас (ц. м.) (фіг. 25.1). Назвемо падаючий протон протоном а, а його чотириімпульс позначимо через р_μ^a. Аналогічно, протон мішені назвемо b, а його чотириімпульс позначимо через р_μ^b,. Якщо енергії падаючого протона якраз достатньо для реакції, то в кінцевому стані (тобто в стані після зіткнення) утворюється система, що містить три протони й антипротон, які спочивають у системі ц. м. Якщо енергія падаючого протона буде трохи вищою, то частинки в кінцевому стані вилетять із деякою кінетичною енергією і розлітатимуться в різні боки; якщо ж вона трохи нижча, то її буде недостатньо для утворення чотирьох частинок.
 
Нехай р_μ^c — повний чотириімпульс усієї системи в кінцевому стані, тоді, згідно із законом збереження енергії та імпульсу,

а комбінуючи ці два вирази, можна написати

Тепер ще одна важлива обставина: оскільки ми отримали рівняння для чотиривекторів, то воно повинне виконуватися в будь-якій інерціальній системі. Цим фактом можна скористатися для спрощення обчислень. Напишемо довжини кожної з частин (25.9), які, зрозуміло, теж повинні бути рівні одна одній, тобто

Так як р_μ^c р_μ^c— інваріант, то можна обчислити його в якійсь одній системі координат. У системі ц. м. часова компонента р_μ^c дорівнює енергії спокою чотирьох протонів, тобто 4М, а просторова частина р дорівнює нулю, так що р_μ¦^c=(4М, 0). При цьому ми скористалися рівністю мас протона й антипротона, позначивши їх однією буквою M.
 
Таким чином, рівняння (25.10) набуває вигляду

Добутки р_μ^a р_μ^a  і р_μ^b р_μ^b, обчислюються дуже швидко: «довжина» чотиривектора імпульсу будь-якої частинки дорівнює просто квадрату її маси:

Це можна довести прямими обчисленнями або, дещо ефектніше, простим зауваженням, що в системі спокою частинки р_μ =(М, 0), а отже, р_μр_μ=М². А оскільки це інваріант, то він дорівнює М² у будь-якій системі відліку. Підставляючи результати в рівняння (25.11), ми отримуємо

Тепер можна обчислити р_μ^aр_μ^b у лабораторній системі. У цій системі чотиривектор р_μ^a = (Е^a, р^a), а р_μ^b,=(М, 0), бо він описує протон, що спочиває. Отже, р_μ^aр_μ^b повинно дорівнювати МЕ^a, а ми знаємо, що скалярний добуток — це інваріант, тому воно повинне дорівнювати значенню, знайденому нами в (25.12). У результаті виходить

Повна енергія падаючого протона повинна бути щонайменше рівна 7M (що становить близько 6,6 ГеВ, оскільки M=938 МеВ) або після віднімання маси спокою M отримуємо, що кінетична енергія повинна бути щонайменше 6М (близько 5,6 ГеВ). Саме для того, щоб мати можливість отримувати антипротони, беватрон у Берклі проектувався на кінетичну енергію прискорених протонів близько 6,2 ГеВ.
 
Скалярний добуток — інваріант, тому корисно знати його величину. Що, наприклад, можна сказати про «довжину» чотиривектора швидкості и_μ и_μ ?

тобто и_μ — одиничний чотиривектор.