Отже, потенціали φ і А, виявляється, утворюють у сукупності чотиривектор, який ми позначили через Аμ, а хвильове рівняння (повне рівняння, що виражає Аμ через jμ ) можна записати у вигляді (25.22). Це рівняння разом зі збереженням заряду (25.19) становлять фундаментальний закон електромагнітного поля:
Зображення
І ось, будь ласка, усі рівняння Максвелла просто і красиво записуються всього в одному рядку. Чи досягли ми чогось, записавши їх у такому вигляді, крім, звісно, краси і простоти? Перш за все, чи є тут якась відмінність від того, що було раніше, коли ми виписували їх у всьому розмаїтті компонент? Чи можна з цих рівнянь отримати щось, чого не можна отримати з хвильових рівнянь для потенціалів, що містять заряди і струми? Відповідь цілком певна — звісно, не можна. Єдине, що ми зробили — це змінили назви, тобто використали нові позначення. Ми намалювали квадратик для позначення похідних, але це, як і раніше, не більше й не менше ніж друга похідна за t мінус друга похідна за x, мінус друга похідна за y, мінус друга похідна за z. А значок μ, каже, що в нас є чотири рівняння, по одному для кожного зі значень μ=t, x, у або z. Який же тоді сенс того, що рівняння можна записати в такій простій формі? З погляду отримання чогось нового — жодного. Хоча, можливо, простота рівнянь і виражає певну простоту природи. Зараз я покажу вам щось цікаве, чого ми потроху навчилися. Можна сказати, що всі закони фізики описуються одним рівнянням:
Зображення
Чи не правда, напрочуд просте рівняння! Звісно, потрібно ще знати, що позначає символ U. Це фізична величина, яку ми будемо називати «недоладністю» ситуації. У нас навіть є для неї формула. Ось як обчислюється ця недоладність: ви берете всі фізичні закони і записуєте їх в особливій формі. Наприклад, ви взяли закон механіки F=ma і записали його у вигляді F – ma=0. Тепер ви можете величину (F–mа), яка, зрозуміло, у нашому світі повинна бути нулем, назвати «недоладністю» механіки. Потім ви берете квадрат цієї недоладності, позначаєте його через U1 і називаєте її «механічною недоладністю». Іншими словами, ви берете
Зображення
потім виписуєте другий фізичний закон, скажімо ∇·Е= ρ/ε0, і визначаєте
Зображення
який можна назвати «гаусовою електричною недоладністю». Продовжуючи цей процес, ви можете ввести U3, U4 і т. д. для кожного з фізичних законів.
Нарешті, повною недоладністю світу U ви називаєте суму Ui для кожного з різних явищ, тобто U=∑Ui.
І тоді «великий закон природи» стверджує:
Нарешті, повною недоладністю світу U ви називаєте суму Ui для кожного з різних явищ, тобто U=∑Ui.
І тоді «великий закон природи» стверджує:
Зображення
Цей «закон», зрозуміло, стверджує лише, що сума квадратів усіх окремих відхилень дорівнює нулю, однак єдиний спосіб зробити суму квадратів безлічі членів рівною нулю — це прирівняти нулю кожен з її доданків.
Таким чином, «напрочуд простий закон» (25.32) еквівалентний цілому ряду рівнянь, які ви писали спочатку. Тому цілком очевидно, що прості позначення, які приховують складності за визначенням символів,— це ще не справжня простота. Це лише трюк. Так і у виразі (25.32) за уявною простотою криється кілька рівнянь; це знову не більше ніж трюк. Розгорнувши їх, ви знову отримаєте те, що було раніше.
Однак закон електродинаміки, написаний у формі рівняння (25.29), містить щось більше, ніж просто запис; у векторному аналізі, крім простоти запису, теж є щось більше. Той факт, що рівняння електромагнетизму можна записати в особливих позначеннях, які спеціально пристосовані для чотиривимірної геометрії перетворень Лоренца, іншими словами, як векторні рівняння в чотиривимірному світі, означає, що вони інваріантні відносно перетворень Лоренца. Саме тому, що рівняння Максвелла інваріантні відносно цих перетворень, їх можна записати в такому гарному вигляді.
У тому, що закони електродинаміки можна записати у формі елегантного рівняння (25.29), немає нічого випадкового. Теорія відносності була розвинена саме тому, що експериментально підтвердилася незмінність передбачених рівнянням Максвелла явищ у будь-якій інерціальній системі. Саме при вивченні трансформаційних властивостей рівнянь Максвелла Лоренц відкрив свої перетворення як перетворення, що залишають інваріантними ці рівняння.
Однак є й інша причина записувати рівняння в такому вигляді. Було виявлено, що всі закони фізики повинні бути інваріантними відносно перетворень Лоренца (першим про це здогадався Ейнштейн). Такий зміст принципу відносності. Тому якщо ви винайшли позначення, які одразу ж показують, чи інваріантний виписаний нами закон, то можна гарантувати, що при спробі створити нову теорію ви писатимете тільки рівняння, узгоджені з принципом відносності.
У простоті рівнянь Максвелла в цих особливих позначеннях немає жодного дива. Позначення були спеціально придумані саме для них. Найцікавіша з фізичного погляду річ полягає в тому, що будь-який фізичний закон (чи то поширення мезонних хвиль, чи поведінка нейтрино в β-розпаді, чи щось інше) повинен мати ту саму інваріантність відносно тих самих перетворень. Так що якщо ваш зореліт рухається зі сталою швидкістю, то всі закони природи разом перетворюються так, що жодних нових явищ не виникає. Саме завдяки тому, що принцип відносності є законом природи, рівняння нашого світу в чотиривимірних позначеннях повинні виглядати набагато простіше.
Таким чином, «напрочуд простий закон» (25.32) еквівалентний цілому ряду рівнянь, які ви писали спочатку. Тому цілком очевидно, що прості позначення, які приховують складності за визначенням символів,— це ще не справжня простота. Це лише трюк. Так і у виразі (25.32) за уявною простотою криється кілька рівнянь; це знову не більше ніж трюк. Розгорнувши їх, ви знову отримаєте те, що було раніше.
Однак закон електродинаміки, написаний у формі рівняння (25.29), містить щось більше, ніж просто запис; у векторному аналізі, крім простоти запису, теж є щось більше. Той факт, що рівняння електромагнетизму можна записати в особливих позначеннях, які спеціально пристосовані для чотиривимірної геометрії перетворень Лоренца, іншими словами, як векторні рівняння в чотиривимірному світі, означає, що вони інваріантні відносно перетворень Лоренца. Саме тому, що рівняння Максвелла інваріантні відносно цих перетворень, їх можна записати в такому гарному вигляді.
У тому, що закони електродинаміки можна записати у формі елегантного рівняння (25.29), немає нічого випадкового. Теорія відносності була розвинена саме тому, що експериментально підтвердилася незмінність передбачених рівнянням Максвелла явищ у будь-якій інерціальній системі. Саме при вивченні трансформаційних властивостей рівнянь Максвелла Лоренц відкрив свої перетворення як перетворення, що залишають інваріантними ці рівняння.
Однак є й інша причина записувати рівняння в такому вигляді. Було виявлено, що всі закони фізики повинні бути інваріантними відносно перетворень Лоренца (першим про це здогадався Ейнштейн). Такий зміст принципу відносності. Тому якщо ви винайшли позначення, які одразу ж показують, чи інваріантний виписаний нами закон, то можна гарантувати, що при спробі створити нову теорію ви писатимете тільки рівняння, узгоджені з принципом відносності.
У простоті рівнянь Максвелла в цих особливих позначеннях немає жодного дива. Позначення були спеціально придумані саме для них. Найцікавіша з фізичного погляду річ полягає в тому, що будь-який фізичний закон (чи то поширення мезонних хвиль, чи поведінка нейтрино в β-розпаді, чи щось інше) повинен мати ту саму інваріантність відносно тих самих перетворень. Так що якщо ваш зореліт рухається зі сталою швидкістю, то всі закони природи разом перетворюються так, що жодних нових явищ не виникає. Саме завдяки тому, що принцип відносності є законом природи, рівняння нашого світу в чотиривимірних позначеннях повинні виглядати набагато простіше.