Чотиривимірний градієнт

Наступною величиною, яку нам слід обговорити, є чотиривимірний аналог градієнта. Нагадаємо (див. розд. 14, вип. 1), що три оператори диференціювання д/дх, д/ду, д/дz перетворюються подібно до тривимірного вектора і називаються градієнтом. Та сама схема повинна працювати і в чотирьох вимірах; через простоту ви можете подумати, що чотиривимірним градієнтом повинні бути (д/дt, д/дх, д/ду д/дz), але це невірно.
 
Щоб виявити помилку, розглянемо скалярну функцію, яка залежить тільки від x і t. Приріст φ при малій зміні t на Δt і сталому x дорівнює

З іншого  боку,  з  погляду  рухомого  спостерігача

Використовуючи рівняння (25.1), ми можемо виразити Δx′ і Δt′ через Δt. Згадуючи тепер, що величина x стала, так що Δx = 0, ми пишемо

Порівнюючи цей результат з (25.13), ми дізнаємося, що

Аналогічні обчислення дають

Тепер ви бачите, що градієнт вийшов досить дивним. Вирази для x і t через x′ і t′ [отримані розв'язанням рівнянь (25.1)] мають вигляд

Саме так повинен   перетворюватися  чотиривектор. Але в рівняннях (25.14) і (25.15) знаки вийшли неправильними! Вихід у тому, що треба замінити неправильне визначення чотиривимірного оператора градієнта (∂/∂t, ∇) правильним:

Ми його позначимо ∇_μ . Для такого ∇_μ труднощі зникають, і він поводиться так, як личить справжньому чотиривектору. (Жахливо неприємна наявність мінусів, але так уже влаштовано у світі.) Зрозуміло, кажучи, що ∇_μ «поводиться як чотиривектор», ми маємо на увазі, що чотиривимірний градієнт скалярної функції є чотиривектором. Якщо φ — справжнє скалярне (лоренц-інваріантне) поле, то ∇_μφ буде чотиривекторним полем.
 
Отже, все владналося. Тепер у нас є вектори, градієнти і скалярний добуток. Наступний на черзі — інваріант, аналогічний дивергенції в тривимірному векторному аналізі. Ясно, що аналогом його повинен бути вираз ∇_μb_μ , де b_μ — векторне поле, компоненти якого є функціями простору і часу. Ми визначимо дивергенцію чотиривектора b_μ =(b_t, b) як скалярний добуток ∇_μ  на b_μ :

де ∇·b — звичайна тривимірна дивергенція вектора b. Не забувайте уважно стежити за знаками. Один знак мінус пов'язаний з визначенням скалярного добутку [формула (25.7)], а інший виникає від просторових компонент ∇_μ [формула (25.16)]. Дивергенція, що визначається формулою (25.7), є інваріантом, і для всіх систем координат, які відрізняються одна від одної перетворенням Лоренца, її застосування приводить до однакової величини.
 
Зупинимося тепер на фізичному прикладі, в якому з'являється чотиривимірна дивергенція. Нею можна скористатися при розв'язанні задачі про поля навколо рухомого провідника. Ми вже бачили (розд. 13, § 7, вип. 5), що густина електричного заряду ρ і густина струму j утворюють чотиривектор j_μ=(ρ, j). Якщо незаряджений провід переносить струм j_x, то в системі відліку, що рухається відносно нього зі швидкістю v (уздовж осі x), у провіднику поряд зі струмом з'явиться і заряд [який виникає  згідно  із законом  перетворень Лоренца (25.1)]:

Але це якраз те, що ми знайшли в розд. 13. Тепер потрібно підставити ці джерела в рівняння Максвелла в рухомій системі і знайти поля.
 
Закон збереження заряду в чотиривимірних позначеннях теж набуває дуже простого вигляду. Розглянемо чотиривимірну дивергенцію вектора j_μ :

Підставляючи це в (25.18), отримуємо дуже просту форму закону збереження заряду:
Закон збереження заряду стверджує, що витікання струму з одиниці об'єму повинне дорівнювати від'ємній швидкості збільшення густини заряду. Іншими словами,

Завдяки тому що ∇_μj_μ— інваріант, рівність його нулю в одній системі відліку означає рівність нулю і в усіх інших. Таким чином, якщо заряд зберігається в одній системі, він зберігатиметься і в усіх інших системах координат, що рухаються відносно неї зі сталою швидкістю.
 
Як останній приклад розглянемо скалярний добуток оператора градієнта ∇_μ на себе. У тривимірному просторі такий добуток дає лапласіан

Що вийде для чотирьох вимірів? Обчислити це дуже просто. Дотримуючись нашого правила скалярного добутку, знаходимо

Цей оператор, що являє собою аналог тривимірного лапласіана, називається даламбертіаном і позначається спеціальним символом

За побудовою він є скалярним оператором, тобто, якщо подіяти ним, скажімо, на чотиривекторне поле, виникає нове чотиривекторне поле. [Іноді даламбертіан визначається з протилежним щодо (25.20) знаком, тож при читанні літератури будьте уважні!]
 
Отже, для більшості величин, перелічених нами в табл. 25.1, ми знайшли їхні чотиривимірні еквіваленти. (У нас ще немає еквівалента векторного добутку, але його знаходження ми залишимо до наступного розділу.) А тепер зберемо в одне місце всі найважливіші результати і визначення і складемо ще одну таблицю (табл. 25.2); вона допоможе вам краще запам'ятати, що на що переходить.