Хвилі в порожньому просторі. Плоскі хвилі

У розд. 18 ми дійшли того, що рівняння Максвелла постали в повному вигляді. Усе, що є в класичній теорії електричних і магнітних полів, випливає з чотирьох рівнянь:

Коли ми звели всі ці рівняння воєдино, ми виявили нове знаменне явище: поля, що їх створюють рухомі заряди, можуть покинути джерело й вирушити мандрувати простором. Ми розглянули окремий випадок, коли раптово вмикається ціла нескінченна площина. Після того як протягом часу t тік струм, виникають однорідні електричні й магнітні поля, що простягаються від площини на ct. Припустимо, що площиною yz тече струм у напрямку +y з поверхневою густиною J. Електричне поле матиме лише y-компоненту, а магнітне — лише z-компоненту. Величина компонент поля дорівнюватиме

для додатних x, менших за ct. Для більших x поля дорівнюють нулю. Рівні за величиною поля простягаються на ту саму відстань від площини в напрямку від'ємних y. На фіг. 20.1 показано графік залежності величини полів від x у момент t. З плином часу «хвильовий фронт» у ct поширюється вздовж x зі сталою швидкістю c.
Тепер уявімо собі таку послідовність подій. На мить ми вмикаємо струм одиничної сили, а потім раптово збільшуємо його силу втричі й підтримуємо його на цьому рівні. Як же тепер виглядатимуть поля? Це можна дізнатися так. По-перше, слід уявити струм з одиничною силою, увімкнений при t=0 і більше не змінюваний. Тоді поля при додатних x матимуть вигляд, показаний на фіг. 20.2, а. Потім слід поставити собі запитання: що станеться, якщо в момент t₁ увімкнути постійний струм силою в дві одиниці?
 
У цьому разі поля стануть удвічі більшими, ніж раніше, але відступлять по x лише на проміжок c(t—t₁) (фіг. 20.2, б). Додаючи ці два розв'язки (за принципом суперпозиції), ми отримуємо, що сума джерел — це струм силою в одну одиницю від моменту нуль до моменту t₁ і струм у три одиниці в пізніші моменти. У момент t поля змінюються вздовж x так, як показано на фіг.  20.2, в.
Візьмімо тепер складнішу задачу. Розглянемо струм, що спершу мав силу в одну одиницю, а потім досяг сили в три одиниці й був вимкнений. Якими будуть поля від такого струму? Розв'язок можна отримати точнісінько так само, як і раніше, тобто додаючи розв'язки трьох різних задач. Спершу знайдемо поля постійного струму одиничної сили (цю задачу ми вже розв'язували). Потім дізнаємося поля від струму подвійної сили. І нарешті візьмемо розв'язок для полів струмів із силою в мінус три одиниці. Додавши всі три розв'язки, ми отримаємо струм силою в одну одиницю від t=0 до якогось пізнішого моменту, скажімо, до t₁, потім струм силою в три одиниці до моменту t₂, а потім струм, що дорівнює нулю, тобто вимкнений. Графік залежності струму від часу показано на фіг. 20.3, а. Додаючи три розв'язки для електричного поля, ми бачимо, що його зміни з відстанню x у даний момент t подібні до зображених на фіг. 20.3, б. Поле точнісінько відображає собою струм. Розподіл поля в просторі є точним відображенням змін струму в часі, але лише намальованим задом наперед. У міру того як минає час, уся картина переміщується назовні зі швидкістю с, так що виходить скибка полів, яка рухається до додатних x і зберігає в собі всю історію змін струму. Якби ми перебували десь на відстані багатьох кілометрів, ми могли б лише за зміною електричного чи магнітного поля безпомилково розповісти, як змінювався струм у джерелі.
 
Зауважте також, що навіть після того, як уся діяльність у джерелі припинилася і всі заряди зникли, а струми зійшли нанівець, наша скибка полів продовжує свою подорож через простір. Виходить розподіл електричних і магнітних полів, який існує незалежно від струмів і зарядів. Це і є той новий ефект, який випливає з повної системи рівнянь Максвелла. Ми можемо, якщо потрібно, подати щойно проведений аналіз у суворо математичній формі, написавши, що електричне поле в даному місці й у даний час пропорційне струму в джерелі, але не в той самий час, а в більш ранній період [t—(x/c)]. Можна написати

Вас здивує, якщо я скажу, що ми вже виводили це рівняння раніше (з іншого погляду), коли говорили про теорію показника заломлення. Тоді нам потрібно було уявити собі, які поля створить шар коливних диполів у тонкому плоскому діелектрику, якщо диполі приводяться в рух електричним полем падаючої електромагнітної хвилі. Наша задача полягала в розрахунку комбінованого поля початкової хвилі і хвиль, випромінюваних коливними диполями. Як же ми змогли тоді розрахувати поля, створювані рухомими зарядами, не знаючи рівнянь Максвелла? Ми тоді прийняли як вихідну (без виведення) формулу для полів випромінювання, створюваних на великих відстанях від заряду, що прискорюється. Якщо ви заглянете в розд. 31 (вип. 3), то побачите, що вираз (31.10) — це якраз наш вираз (20.3), який ми щойно написали. Хоча наше попереднє виведення стосувалося лише великих відстаней від джерела, тепер ми бачимо, що той самий результат правильний і поблизу джерела.
 
Зараз ми хочемо поглянути в загальному вигляді на поведінку електричних і магнітних полів у порожньому просторі вдалині від джерел, тобто від струмів і зарядів. Дуже близько від них (так близько, що джерела за час запізнення передачі не встигають сильно змінитися) поля дуже схожі на ті, які вийшли в нас в електростатиці чи магнітостатиці. Але якщо перейти до таких великих відстаней, що запізнення стане помітним, то природа полів може радикально відрізнятися від тих розв'язків, які ми знайшли. Коли поля значно віддаляються від усіх джерел, вони починають певною мірою набувати свого власного характеру. Тож ми маємо право приступити до обговорення поведінки полів в області,  де немає ні струмів, ні зарядів.
 
Припустимо, що нас цікавить рід полів, які можуть існувати в областях, де і ρ, і j дорівнюють нулю. У розд. 18 ми бачили, що фізику рівнянь Максвелла можна також виразити мовою диференціальних рівнянь для скалярного і векторного потенціалів:

Якщо ρ і j дорівнюють нулю, то ці рівняння спрощуються:

Отже, в порожньому просторі і скалярний потенціал φ, і кожна компонента векторного потенціалу А задовольняють одне й те саме математичне рівняння. Нехай буквою ψ (псі) ми позначили будь-яку з чотирьох величин φ, А_x, А_y, A_z; тоді   нам  треба   вивчити   загальні  розв'язки  рівняння

Його називають тривимірним хвильовим рівнянням — тривимірним тому, що функція ψ може в загальному випадку залежати від x, у і z і слід враховувати зміни за кожною з цих координат. Це стає зрозумілим, якщо ми випишемо явно три члени  оператора Лапласа:

У порожньому просторі електричні й магнітні поля Е і В теж задовольняють хвильове рівняння. Так, оскільки B=∇xA, диференціальне рівняння для В можна отримати, взявши ротор від рівняння (20.7). Оскільки лапласіан — це скалярний оператор, то порядок операцій обчислення лапласіана й ротора можна переставляти:

Точнісінько так само можна переставляти й обчислення rot і ∂/∂t:

З цього ми отримуємо таке диференціальне рівняння для В:

Тим самим з'ясовується, що компонента магнітного поля В задовольняє тривимірне хвильове рівняння. Подібно до цього, з того факту, що Е=–∇φ–dA/dt, випливає, що електричне поле Е в порожньому просторі задовольняє тривимірне хвильове рівняння

Усі наші електромагнітні поля підкоряються одному й тому самому рівнянню (20.8). Можна ще запитати: який же найзагальніший розв'язок цього рівняння? Однак перш ніж розв'язувати це важке питання, спершу подивимося, що можна сказати в загальному випадку про ті розв'язки, в яких за у і за z нічого не змінюється. (Завжди спершу беріться за прості випадки, щоб було видно, чого слід очікувати, а вже потім можете переходити до складніших випадків.) Припустімо, що величина полів залежить тільки від x, так що за у і за z поля не змінюються. Ми, отже, знову розглядаємо плоскі хвилі й повинні очікувати, що вийдуть ті самі результати, що й у попередньому розділі. І ми справді отримаємо точнісінько ті самі відповіді. Ви можете запитати: «Але навіщо знову робити те саме?» Це важливо, по-перше, тому що ми не довели, що знайдені нами хвилі становлять найзагальніший розв'язок для плоских хвиль, і, по-друге, тому що наші поля виникли від джерела струму особливого виду. Зараз ми хотіли б з'ясувати таке питання: який найзагальніший вигляд одновимірної хвилі в порожньому просторі? Ми не дізнаємося цього, якщо розглядатимемо те чи інше джерело особливого виду, нам потрібна більша загальність. Крім того, цього разу ми будемо працювати не з інтегральною формою рівнянь, а з диференціальною. Хоча підсумок однаковий, це чудовий привід повправлятися у викладках і переконатися в тому, що не має значення, яким шляхом іти. Ви повинні вміти діяти будь-яким шляхом, тому що, натрапивши на важку задачу, ви часто виявляєте, що годиться лише один із багатьох способів  розрахунку.
 
Можна було б прямо розглянути розв'язок хвильового рівняння для якоїсь з електромагнітних величин. Натомість ми почнемо прямо з початку, з рівнянь Максвелла для порожнього простору, і ви переконаєтеся в їхньому тісному зв'язку з електромагнітними хвилями. Тож ми відштовхуємося від рівнянь (20.1), вважаючи, що в них струми і заряди дорівнюють нулю. Вони обертаються на

Розпишемо перше рівняння покомпонентно:

Ми припустили, що за y і z поле не змінюється, так що два останні члени дорівнюють нулю. Тоді, згідно з (20.13),

Розв'язком його є стале в просторі Е_x (компонента електричного поля в напрямку x). Поглянувши на рівняння IV у (20.12) і вважаючи, що В теж не змінюється вздовж y і z, ви переконаєтеся, що Е_x стале і в часі. Таким полем може виявитися стале поле від якогось зарядженого конденсатора вдалині від цього конденсатора. Нас зараз не цікавлять такі нецікаві статичні поля; нас цікавлять лише динамічно мінливі поля. А для динамічних полів  Е_x=0.
 
Отже, ми прийшли до важливого результату про те, що при поширенні плоских хвиль у довільному напрямку електричне поле повинно розташовуватися впоперек напрямку свого поширення. Звісно, у нього ще залишається можливість якимось складним чином змінюватися за координатою x.
 
Поперечне поле Е можна завжди розбити на дві компоненти, скажімо на у і z. Тож спершу розберемо випадок наявності в електричного поля лише однієї поперечної компоненти. Для початку візьмемо електричне поле, спрямоване за y, тобто з нульовою z-компонентою. Ясно, що, розв'язавши цю задачу, ми завжди зможемо розібрати й той випадок, коли електричне поле всюди спрямоване за z. Загальний розв'язок можна завжди подати у вигляді суперпозиції двох таких полів.
 
Якими простими стали тепер наші рівняння! Тепер єдина ненульова компонента електричного поля — це Е_y, і всі похідні (крім похідних за x) теж дорівнюють нулю. Рештки рівнянь Максвелла виглядають надзвичайно просто.
 
Розглянемо тепер друге з рівнянь Максвелла [тобто II з (20.12)].   Розписавши  компоненти rot E, отримуємо

тут x-компонента ∇xE дорівнює нулю, тому що дорівнюють нулю похідні за y і z; y-компонента теж дорівнює нулю: перший член тому, що всі похідні за z дорівнюють нулю, а другий тому, що E_z=0. Єдина не рівна нулю компонента rot E — це z-компонента, вона дорівнює дЕ_y/дх. Вважаючи, що три компоненти ∇xE дорівнюють відповідним компонентам —∂B/∂t,   ми  доходимо висновку,  що

Оскільки часові похідні як x-компоненти магнітного поля, так і у-компоненти магнітного поля дорівнюють нулю, то обидві ці компоненти є просто сталими полями і відповідають раніше знайденим магнітостатичним розв'язкам. Адже хтось міг залишити постійний магніт біля того місця, де поширюються хвилі. Ми ігноруватимемо ці сталі поля й покладемо В_x і В_y рівними нулю.
 
До речі, про рівність нулю х-компоненти поля В ми мали б дійти висновку і з іншої причини. Оскільки дивергенція В дорівнює нулю (за третім рівнянням Максвелла), то ми, вдаючись при розгляді електричного поля до тих самих доводів, що й вище, мали б прийти до висновку, що поздовжня компонента магнітного поля не може змінюватися вздовж x. А оскільки ми такими однорідними полями в наших хвильових розв'язках нехтуємо, то нам слід було б покласти В_x рівним нулю. У плоских електромагнітних хвилях поле В, так само як і поле Е, повинно бути спрямоване впоперек напрямку поширення самих хвиль.
 
Рівність (20.16) дає нам додаткове твердження про те, що якщо електричне поле має тільки y-компоненту, то магнітне поле має тільки z-компоненту. Отже, Е і В перпендикулярні одне одному. Саме це й спостерігалося в тій хвилі особливого типу, яку ми вже розглянули.
 
Тепер ми готові використати останнє з рівнянь Максвелла для порожнього простору [тобто IV з (20.12)]. Розписуючи  покомпонентно,   маємо

Із  шести  похідних від компонент  В  лише   ∂B_z/∂x  не дорівнює нулю. Тож три рівняння просто дають

Підсумок усієї нашої діяльності полягає в тому, що відмінні від нуля тільки по одній компоненті електричного й магнітного полів, і ці компоненти зобов'язані задовольняти рівняння (20.16) і (20.18). Ці два рівняння можна об'єднати в одне, якщо перше з них продиференціювати за x, а друге— за t; тоді ліві частини рівнянь збіжаться (з точністю до множника с²). І ми виявляємо, що Е_y   підкоряється рівнянню

Ми вже зустрічали це диференціальне рівняння, коли вивчали поширення звуку. Це хвильове рівняння для одновимірних  хвиль.
 
Зауважте, що в процесі виведення ми отримали більше, ніж міститься в (20.11). Рівняння Максвелла дали нам інформацію і про те, що в електромагнітних хвиль є тільки компоненти поля, розташовані під прямим кутом до напрямку поширення хвиль.
 
Згадаймо все, що нам відомо про розв'язки одновимірного хвильового рівняння. Якщо якась величина ψ задовольняє одновимірне хвильове рівняння

то  одним із  можливих  розв'язків є функція ψ(x, t), що має вигляд

тобто функція однієї-єдиної змінної (x—ct). Функція f(x—ct) являє собою «жорстке» утворення вздовж осі x, яке рухається в напрямку до додатних x зі швидкістю с (фіг. 20.4). Так, якщо максимум функції f припадає на нульове значення аргументу, то при t=0 максимум ψ опиняється при x=0. У пізніший момент, скажімо при t=10, максимум ψ опиниться в точці х=10 c. Коли час рухається, максимум теж рухається в бік зростання x зі швидкістю c. Часом зручніше вважати, що розв'язок одновимірного хвильового рівняння є функцією від (t—x/c). Однак по суті це одне й те саме, тому що будь-яка функція від (t—x/c)— це також функція від (x—ct):

Покажемо, що f(x—ct) справді є розв'язком хвильового рівняння. Оскільки f залежить лише від однієї змінної — змінної (x—ct), то ми позначатимемо через f′ похідну f за цією змінною,  а  через f″— другу похідну. Диференціюючи  (20.21)  за x,  отримуємо

тому що похідна від (x—ct) за x дорівнює одиниці. Друга похідна  ψ  за  x дорівнює

А похідні ψ за t дають

Ми переконуємося, що ψ справді задовольняє одновимірне  хвильове рівняння.
 
Ви дивуєтеся: «Звідки ж ви взяли, що розв'язком хвильового рівняння є f(x—ct)? Мені ця перевірка заднім числом зовсім не подобається. Хіба немає прямого шляху відшукати розв'язок?» Гаразд, ось вам прямий шлях: знати розв'язок. Можна, звісно, «спекти» за всіма правилами науки прямі математичні аргументи, тим більше що ми знаємо, яким має бути розв'язок, але з таким простим, як у нас, рівнянням гра не варта свічок. З часом ви самі дійдете до того, що, тільки-но побачивши рівняння (20.20), одразу ж будете уявляти собі f(x—ct) = ψ як розв'язок. (Подібно до того, як зараз при вигляді інтеграла від x²dx у вас одразу спливає відповідь х³/3.)
 
Насправді ви повинні уявляти собі трошки більше. Розв'язком є не тільки будь-яка функція від (x—ct), а й функція від (x+ct). Через те що в хвильовому рівнянні c трапляється тільки у вигляді с², зміна знака c нічого не змінює. І справді, найзагальніший розв'язок одновимірного хвильового рівняння — це сума двох довільних функцій, однієї від аргументу (x—ct), а другої від (x+ct):

Перший доданок дає хвилю, що рухається в напрямку до додатних x, другий — довільну хвилю, що біжить до від'ємних x. Загальний розв'язок отримується накладанням двох таких хвиль,  що існують одночасно.
 
 
Наступне кумедне питання розв'яжіть самі. Візьмемо функцію ψ у вигляді

Ця функція не має вигляду f(x—cf) чи g(x+ct). Але прямою підстановкою в (20.20) легко переконатися, що вона задовольняє хвильове рівняння. То як же ми тоді насмілюємося казати, що загальний розв'язок має вигляд (20.24)?
 
Застосовуючи ці висновки про розв'язок хвильового рівняння до y-компоненти електричного поля Е_y, ми доходимо висновку, що Е_y може змінюватися за x довільним чином. Будь-яке поле, яке насправді існує, можна завжди розглядати як суму двох картин. Одна хвиля пливе через простір у якомусь напрямку зі швидкістю c, причому пов'язане з нею магнітне поле перпендикулярне до електричного; друга хвиля біжить у протилежному напрямку з тією самою швидкістю. Такі хвилі відповідають добре відомим нам електромагнітним хвилям — світлу, радіохвилям, інфрачервоному випромінюванню, ультрафіолету, рентгенівським променям тощо. Ми вже вивчали дуже детально випромінювання світла. Оскільки все, чого ми тоді навчилися, застосовне до будь-яких електромагнітних хвиль, то тепер немає потреби розглядати детально поведінку  цих  хвиль.
 
Мабуть, варто лише зробити кілька зауважень про поляризацію електромагнітних хвиль. Раніше ми вирішили розглянути окремий випадок електричного поля з однією лише y-компонентою. Є, звісно, і інший розв'язок для хвиль, що біжать у напрямку +х чи —x, тобто розв'язок, при якому електричне поле має лише одну z-компоненту. Оскільки рівняння Максвелла лінійні, загальний розв'язок для одновимірних хвиль, що поширюються в напрямку x, є сумою хвиль Е_y і хвиль Е_z. Загальний розв'язок підсумовується такими формулами:

У подібних електромагнітних хвиль напрямок вектора Е не незмінний: він якось довільно зміщується по спіралі в площині yz. Але в кожній точці магнітне поле завжди перпендикулярне до електричного і до напрямку поширення.
 
Якщо присутні тільки хвилі, що біжать в одному напрямку (скажімо, у додатному напрямку x), то є просте правило, яке говорить про відносну орієнтацію електричного й магнітного полів. Правило полягає в тому, що векторний добуток ExB (який, як відомо, є вектором, поперечним і до Е, і до В) вказує напрямок, куди біжить хвиля. Якщо Е суміщати з В правим поворотом, то вектор повороту показує напрямок вектора швидкості хвилі. (Пізніше ми побачимо, що вектор ExB має особливий фізичний сенс: це вектор, який описує течію енергії в електромагнітному полі.)