А тепер звернімося до тривимірних хвиль. Ми вже знаємо, що вектор Е задовольняє хвильове рівняння. До того самого висновку легко прийти, відштовхуючись прямо від рівнянь Максвелла. Припустімо, що ми виходимо з рівняння
Зображення
і беремо ротор від обох частин:
Зображення
Ви пам'ятаєте, що ротор від ротора будь-якого вектора можна записати у вигляді суми двох членів, один з яких містить дивергенцію, а другий — лапласіан:
Зображення
Але в порожньому просторі дивергенція Е дорівнює нулю, так що залишається тільки член з лапласіаном. Далі, з четвертого рівняння Максвелла в порожньому просторі [див. (20.12)] похідна за часом від c2(∇xB) дорівнює другій похідній Е за t:
Зображення
Тоді (20.26) обертається на
Зображення
Це і є тривимірне хвильове рівняння. Розписане у всій красі, воно виглядає так:
Зображення
Як же нам знайти загальний розв'язок цього рівняння? Відповідь така: усі розв'язки тривимірного хвильового рівняння можна подати у вигляді суперпозиції вже знайдених нами одновимірних розв'язків. Ми отримали рівняння для хвиль, що біжать у напрямку x, припустивши, що поле не залежить від y і z. Звісно, є й інші розв'язки, в яких поля не залежать від x і z,— це хвилі, що йдуть у напрямку y. Далі існують розв'язки, що не залежать від x і y; вони являють хвилі, що рухаються в напрямку z. Або в загальному випадку, оскільки ми записали наші рівняння у векторній формі, тривимірне хвильове рівняння може мати розв'язки, які є плоскими хвилями, що біжать, узагалі кажучи, у будь-якому напрямку. Крім того, оскільки рівняння лінійні, то одночасно може поширюватися скільки завгодно плоских хвиль, що біжать у яких завгодно напрямках. Таким чином, найзагальніший розв'язок тривимірного хвильового рівняння є суперпозицією всіх видів плоских хвиль, що біжать в усіх можливих напрямках.
Спробуйте уявити собі, як виглядають зараз електричні й магнітні поля в нашій аудиторії. Передусім тут є стале магнітне поле; воно виникло від струмів усередині нашої Землі, від сталого земного магнетизму. Далі тут є якісь нерегулярні, майже статичні електричні поля. Вони, найпевніше, створені електричними зарядами, що з'являються через те, що хтось совається на своєму стільці чи треться рукавами об стіл (одне слово, внаслідок тертя). Крім того, тут є ще й інші магнітні поля, викликані змінними струмами в електропроводці,— поля, які змінюються з частотою 50 гц в такт з роботою генератора на міській електростанції. Але ще більший інтерес становлять електричні й магнітні поля, що змінюються швидше. Наприклад, там, де світло падає з вікна, освітлюючи стіни й підлогу, є невеликі коливання електричного й магнітного полів, що переміщуються за секунду на 300 000 км. По кімнаті ще поширюються інфрачервоні хвилі, що йдуть від ваших гарячих голів до холодної дошки з формулами. Так! Ми ще забули про ультрафіолетове світло, про рентгенівські промені й про радіохвилі, які проносяться по кімнаті.
Через кімнату ковзають електромагнітні хвилі, які несуть у собі джазову музику. Проносяться й хвилі, модульовані серією імпульсів, що являють картини подій, які відбуваються зараз в інших місцях світу, чи картини уявних явищ, що відбуваються при розчиненні уявного аспірину в уявних шлунках. Щоб переконатися в реальності цих хвиль, досить просто увімкнути електронну апаратуру, яка перетворює ці хвилі на зображення і звуки.
Якщо ми займемося подальшим аналізом ще слабших коливань, то помітимо найдрібніші електромагнітні хвилі, що прийшли в нашу кімнату з величезних відстаней. У ній існують найдрібніші коливання електричного поля, гребені яких відстоять один від одного приблизно на фут, а джерело їх віддалене звідси на мільйони миль. Ці хвилі передаються на Землю з міжпланетної станції Марінер II, яка якраз проходить зараз десь повз Венеру. Її сигнали несуть зведення всієї тієї інформації, яку їй вдалося вхопити біля планети (інформації, отриманої від електромагнітних хвиль, що дійшли від Венери до станції).
І є тут ще ледь помітні коливання електричних і магнітних полів від хвиль, що виникли в мільярдах світлових років звідси, у галактиках, що містяться у найвіддаленіших закутках Всесвіту. У тому, що це справді так, переконалися, «заповнивши кімнату дротом», тобто спорудивши антени завбільшки з цю кімнату. Так було помічено радіохвилі, що дійшли до нас із місць, які перебувають за межами досяжності найбільших оптичних телескопів. До речі, навіть ці оптичні телескопи — всього лише прості збирачі електромагнітних хвиль. А те, що ми називаємо зорями, — лише висновки — висновки, виведені з єдиної фізичної реальності, яку ми досі від них отримували, з ретельного вивчення нескінченно складних хвильових рухів електричних і магнітних полів, що досягають Землі.
В аудиторії є, звісно, ще й інші різні поля — від блискавок, що спалахують десь удалині звідси, від заряджених частинок у космічних променях у ту мить, коли вони проносяться крізь кімнату, і ще поля, і ще... Уявляєте, яка складна штука всі ці електричні поля в просторі навколо нас! І всі вони підкоряються тривимірному хвильовому рівнянню.
Спробуйте уявити собі, як виглядають зараз електричні й магнітні поля в нашій аудиторії. Передусім тут є стале магнітне поле; воно виникло від струмів усередині нашої Землі, від сталого земного магнетизму. Далі тут є якісь нерегулярні, майже статичні електричні поля. Вони, найпевніше, створені електричними зарядами, що з'являються через те, що хтось совається на своєму стільці чи треться рукавами об стіл (одне слово, внаслідок тертя). Крім того, тут є ще й інші магнітні поля, викликані змінними струмами в електропроводці,— поля, які змінюються з частотою 50 гц в такт з роботою генератора на міській електростанції. Але ще більший інтерес становлять електричні й магнітні поля, що змінюються швидше. Наприклад, там, де світло падає з вікна, освітлюючи стіни й підлогу, є невеликі коливання електричного й магнітного полів, що переміщуються за секунду на 300 000 км. По кімнаті ще поширюються інфрачервоні хвилі, що йдуть від ваших гарячих голів до холодної дошки з формулами. Так! Ми ще забули про ультрафіолетове світло, про рентгенівські промені й про радіохвилі, які проносяться по кімнаті.
Через кімнату ковзають електромагнітні хвилі, які несуть у собі джазову музику. Проносяться й хвилі, модульовані серією імпульсів, що являють картини подій, які відбуваються зараз в інших місцях світу, чи картини уявних явищ, що відбуваються при розчиненні уявного аспірину в уявних шлунках. Щоб переконатися в реальності цих хвиль, досить просто увімкнути електронну апаратуру, яка перетворює ці хвилі на зображення і звуки.
Якщо ми займемося подальшим аналізом ще слабших коливань, то помітимо найдрібніші електромагнітні хвилі, що прийшли в нашу кімнату з величезних відстаней. У ній існують найдрібніші коливання електричного поля, гребені яких відстоять один від одного приблизно на фут, а джерело їх віддалене звідси на мільйони миль. Ці хвилі передаються на Землю з міжпланетної станції Марінер II, яка якраз проходить зараз десь повз Венеру. Її сигнали несуть зведення всієї тієї інформації, яку їй вдалося вхопити біля планети (інформації, отриманої від електромагнітних хвиль, що дійшли від Венери до станції).
І є тут ще ледь помітні коливання електричних і магнітних полів від хвиль, що виникли в мільярдах світлових років звідси, у галактиках, що містяться у найвіддаленіших закутках Всесвіту. У тому, що це справді так, переконалися, «заповнивши кімнату дротом», тобто спорудивши антени завбільшки з цю кімнату. Так було помічено радіохвилі, що дійшли до нас із місць, які перебувають за межами досяжності найбільших оптичних телескопів. До речі, навіть ці оптичні телескопи — всього лише прості збирачі електромагнітних хвиль. А те, що ми називаємо зорями, — лише висновки — висновки, виведені з єдиної фізичної реальності, яку ми досі від них отримували, з ретельного вивчення нескінченно складних хвильових рухів електричних і магнітних полів, що досягають Землі.
В аудиторії є, звісно, ще й інші різні поля — від блискавок, що спалахують десь удалині звідси, від заряджених частинок у космічних променях у ту мить, коли вони проносяться крізь кімнату, і ще поля, і ще... Уявляєте, яка складна штука всі ці електричні поля в просторі навколо нас! І всі вони підкоряються тривимірному хвильовому рівнянню.