Сферичні хвилі

Ми бачили, що існують розв'язки хвильового рівняння, які відповідають плоским хвилям, і що будь-яку електромагнітну хвилю можна описати як суперпозицію багатьох плоских хвиль. У певних випадках, однак, зручніше описувати хвильове поле в іншій математичній формі. Я хотів би зараз розібрати теорію сферичних хвиль — хвиль, які відповідають сферичним поверхням, що розходяться з якогось центру. Коли ви кидаєте камінь у ставок, то по водній гладіні побіжить брижі у вигляді кругових хвиль — це двовимірні хвилі. Сферичні хвилі схожі на них, тільки поширюються вони в усіх трьох вимірах.
 
Перш ніж почати опис сферичних хвиль, трохи позаймаємося математикою. Нехай є функція, що залежить тільки від радіальної відстані r точки від початку координат, іншими словами, сферично симетрична функція. Позначимо її ψ(r), де під r мається на увазі

тобто відстань від початку координат. Щоб дізнатися, які функції ψ(r) задовольняють хвильове рівняння, нам знадобиться вираз для лапласіана ψ. Отже, нам потрібно знайти суму других похідних ψ за x, за y і за z. Через ψ′(r) ми позначимо першу похідну ψ за r, а через ψ″(r) — другу.
 
Спочатку знайдемо похідні за x. Перша похідна дорівнює

Друга похідна за x дорівнює

Частинні похідні r за x можна отримати з

так що друга похідна ψ за х набуває вигляду

Точнісінько так само й

Лапласіан дорівнює сумі цих трьох похідних. Пригадуючи, що х² + у² + z² = r², отримуємо

Провівши диференціювання, вказане в (20.32), ви переконаєтеся, що права частина тут та сама, що й у (20.31).
 
Якщо ми хочемо розглядати сферично симетричні поля, які можуть поширюватися як сферичні хвилі, то величини,  що описують поля, повинні бути функцією як  r, так і t. Припустімо, що нам потрібно знати, які функції ψ(r, t) є розв'язками тривимірного хвильового рівняння
Часто буває зручніше записувати рівняння в такій формі:

Оскільки ψ(r, t) залежить від просторових координат тільки через r, то як лапласіан можна використати вираз (20.32). Але для точності, оскільки ψ залежить також і від t, потрібно диференціювання за r записувати у вигляді частинної похідної. Хвильове рівняння обертається на

Його і належить нам розв'язувати. Воно виглядає складнішим, ніж у випадку плоских хвиль. Але зауважте, що якщо помножити це рівняння на r, то вийде

Це рівняння говорить нам, що функція rψ задовольняє одновимірне хвильове рівняння за змінною r. Використовуючи часто підкреслюваний нами загальний принцип, що в однакових рівнянь і розв'язки однакові, ми доходимо висновку, що якщо rψ виявиться функцією тільки (r—ct), то воно буде розв'язком рівняння (20.34). Отже, ми виявляємо, що сферичні хвилі зобов'язані мати вигляд

Або, як ми бачили раніше, можна тією самою мірою вважати rψ таким, що має форму

Ділячи на r,  знаходимо, що величина ψ, яка характеризує поле, (чим би вона не була) має вигляд

Така функція являє сферичну хвилю загального вигляду, що поширюється від початку координат зі швидкістю с. Якщо на хвилину забути про r у знаменнику, то амплітуда хвилі як функція відстані від початку координат у кожний даний момент має певну форму, яка поширюється зі швидкістю с. Однак r у знаменнику говорить нам, що в міру того, як хвиля поширюється, її амплітуда спадає пропорційно 1/r. Іншими словами, на відміну від плоскої хвилі, амплітуда якої лишається при русі увесь час однією й тією самою, амплітуда сферичної хвилі безперервно спадає (фіг. 20.6). Цей факт легко зрозуміти з простих фізичних міркувань.

Ми знаємо, що густина енергії в хвилі залежить від квадрата амплітуди хвилі. У міру того як хвиля розбігається, її енергія розпливається на все більшу й більшу площу, пропорційну квадрату радіуса хвилі. Якщо повна енергія зберігається, густина енергії повинна спадати як 1/r², а амплітуда — як 1/r. Тому формула (20.35) для сферичної хвилі цілком «розумна».
 
Ми проігнорували інший можливий розв'язок одновимірного хвильового рівняння

Це теж сферична хвиля, але біжуча всередину, від великих r до початку координат.
 
Тим самим ми робимо якесь спеціальне припущення. Ми стверджуємо (без будь-якого доведення), що хвилі, створювані джерелом, завжди біжать тільки від нього. Оскільки ми знаємо, що хвилі викликаються рухом зарядів, ми налаштовуємося на те, що хвилі біжать від зарядів. Було б доволі дивно уявляти, що перш ніж заряди були приведені в рух, сферична хвиля вже вийшла з нескінченності й прибула до зарядів якраз у ту мить, коли вони почали ворушитися. Такий розв'язок можливий, але досвід показує, що, коли заряди прискорюються, хвилі поширюються від зарядів, а не до них. Хоч рівняння Максвелла надають обом хвилям рівні можливості, ми залучаємо додатковий факт, заснований на досвіді, що «фізичним сенсом» володіє тільки розбіжна хвиля.
 
Слід, однак, зауважити, що з цього додаткового припущення випливає цікавий наслідок: ми втрачаємо при цьому симетрію відносно часу, яка є в рівнянь Максвелла. Як вихідні рівняння для Е і В, так і похідні від них хвильові рівняння при зміні знака t не змінюються. Ці рівняння стверджують, що будь-якому розв'язку, який відповідає хвилі, що біжить в один бік, відповідає настільки ж правильний розв'язок для хвилі, що біжить у зворотний бік. І стверджуючи, що ми маємо намір брати до уваги тільки розбіжні сферичні хвилі, ми тим самим робимо важливе додаткове припущення. (Дуже ретельно вивчалася така електродинаміка, в якій обходяться без цього додаткового припущення. Хоч як це дивно, але за багатьох обставин вона не приводить до фізично абсурдних результатів. Однак обговорення цих ідей зараз завело б нас надто вбік. Ми поговоримо про це детальніше в розд. 28.)
 
Слід згадати ще про один важливий факт. У нашому розв'язку для розбіжної хвилі (20.35) функція ψ в початку координат нескінченна. Це якось незвично. Ми воліли б мати такі хвильові розв'язки, які гладкі всюди. Наш розв'язок фізично стосується такої ситуації, коли в початку координат розташоване джерело. Виходить, ми ненавмисно зробили одну помилку: наша формула (20.35) не є розв'язком вільного хвильового рівняння (20.33) всюди; рівняння (20.33) з нулем у правій частині розв'язане всюди, крім початку координат. Помилка закралася через те, що деякі дії при виведенні рівняння при r=0 «незаконні».
 
Покажемо, що ту саму помилку легко зробити і в електростатиці. Припустімо, що нам потрібно розв'язати рівняння електростатичного потенціалу в порожньому просторі ∇²φ=0. Лапласіан дорівнює нулю, тому що ми припустили, що жодних зарядів ніде немає. Але як бути зі сферично симетричним розв'язком рівняння, тобто з функцією φ, яка залежить тільки від r? Використовуючи для лапласіана формулу (20.32), отримуємо

Помноживши цей вираз на r, приходимо до вже інтегрованого рівняння

Проінтегрувавши один раз за r, ми побачимо, що перша похідна rφ дорівнює сталій, яку ми позначимо через a:

Ще раз проінтегрувавши, ми отримаємо для rφ формулу

де b — інша стала інтегрування. Отже, ми виявили, що розв'язок для електростатичного потенціалу в порожньому просторі має вигляд

Щось тут явно не так. Ми ж знаємо розв'язок для електростатичного потенціалу в області, де немає електричних зарядів: потенціал усюди сталий. Це відповідає першому доданку в розв'язку. Але є ще й другий член, який підказує нам, що в потенціал робить внесок щось, що змінюється як 1/r. Ми знаємо, однак, що подібний потенціал відповідає точковому заряду в початку координат. Виходить, хоч ми й думали, що знайшли розв'язок для потенціалу в порожньому просторі, наш розв'язок фактично дає нам також поле точкового джерела в початку координат. Ви помічаєте схожість між тим, що зараз сталося, і тим, що сталося тоді, коли ми шукали сферично симетричний розв'язок хвильового рівняння? Якби в початку координат справді не було ні зарядів, ні струмів, то не виникли б і сферично розбіжні хвилі. Сферичні хвилі повинні викликатися джерелами в початку координат. У наступному розділі ми дослідимо зв'язок між випромінюваними електромагнітними хвилями і струмами й напругами, що їх викликають.