Скористаємося методом векторного потенціалу, щоб знайти магнітне поле маленької петлі зі струмом. Як завжди, під словом «маленька» ми просто розуміємо, що нас цікавлять поля лише на великих відстанях порівняно з розміром петлі. Як ми побачимо, будь-яка петелька являє собою «магнітний диполь». Це означає, що вона створює магнітне поле, подібне до електричного поля від електричного диполя.
Візьмемо спершу прямокутну петлю і виберемо осі координат, як показано на фіг. 14.6. Струмів у напрямку z немає, тому Аz дорівнює нулю. Є струми в напрямку x по обидва боки прямокутника, довжина яких a.
У кожній стороні густина струму і струм однорідні. Тому розв'язок для Аx точнісінько подібний до електростатичного потенціалу від двох заряджених паличок (фіг. 14-7). Оскільки палички мають протилежні заряди, їхній електричний потенціал на великих відстанях є якраз дипольний потенціал (див. розд. 6, § 5). У точці P на фіг. 14.6 потенціал дорівнює
Візьмемо спершу прямокутну петлю і виберемо осі координат, як показано на фіг. 14.6. Струмів у напрямку z немає, тому Аz дорівнює нулю. Є струми в напрямку x по обидва боки прямокутника, довжина яких a.У кожній стороні густина струму і струм однорідні. Тому розв'язок для Аx точнісінько подібний до електростатичного потенціалу від двох заряджених паличок (фіг. 14-7). Оскільки палички мають протилежні заряди, їхній електричний потенціал на великих відстанях є якраз дипольний потенціал (див. розд. 6, § 5). У точці P на фіг. 14.6 потенціал дорівнюєЗображення
де р — дипольний момент розподілу зарядів. У цьому випадку дипольний момент дорівнює повному заряду на одній паличці, помноженому на відстань між ними:
Зображення
Дипольний момент дивиться в негативному напрямку y, тому косинус кута між R і р дорівнює —y/R (де y — координата P). Отже, ми маємо
Зображення
Замінюючи λ на I/с2, одразу ж отримуємо Аx
Зображення
За допомогою тих самих міркувань:
Зображення
Знову Аy пропорційно x, а Аx пропорційно —y, так що векторний потенціал (на великих відстанях) іде по колу навколо осі z, циркулюючи таким же чином, як струм I у петлі (фіг. 14.8).Величина А пропорційна Iab, тобто струму, помноженому на площу петлі. Цей добуток називається магнітним дипольним моментом (або часто просто «магнітним моментом») петлі. Ми позначимо його через μ:
Зображення
Векторний потенціал маленької плоскої петельки будь-якої форми (коло, трикутник тощо) також дається рівняннями (14.30) і (14.31), якщо замінити Iab на
Зображення
Ми надаємо вам право це довести.
Нашому рівнянню можна надати векторну форму, якщо визначити вектор μ як нормаль до площини петлі з позитивним напрямком, що визначається за правилом правої руки (див. фіг. 14.8). Тоді можна написати
Нашому рівнянню можна надати векторну форму, якщо визначити вектор μ як нормаль до площини петлі з позитивним напрямком, що визначається за правилом правої руки (див. фіг. 14.8). Тоді можна написати
Зображення
Нам ще потрібно знайти В. Користуючись (14.33) і (14.34), а також (14.4), отримуємо
Зображення
(під трикрапкою ми розуміємо μ/4πε0c2),
Зображення
Компоненти поля В поводяться точнісінько так само, як компоненти поля Е для диполя, орієнтованого вздовж осі z [див. рівняння (6.14) і (6.15), а також фіг. 6.5, стор. 115]. Ось чому ми називаємо петлю магнітним диполем. Слово «диполь» у застосуванні до магнітного поля трохи заплутує, тому що немає окремих магнітних «полюсів», що відповідають електричним зарядам. Магнітне «дипольне поле» створюється не двома «зарядами», а елементарною петлею зі струмом.
Загалом досить цікаво, що, почавши з зовсім різних законів, ∇·Е=ρ/ε0 і ∇XB=j/ε0c2, можна прийти до поля одного й того самого вигляду. Чому так виходить? Тому що дипольні поля виникають, лише коли ми перебуваємо далеко від усіх струмів і зарядів. Тоді в більшій частині простору рівняння для Е і В однакові: в обох дивергенція і ротор дорівнюють нулю. Отже, вони дають одні й ті самі розв'язки. Однак джерела, конфігурацію яких ми описуємо за допомогою дипольних моментів, фізично цілком різні. В одному випадку це циркулюючий струм, а в іншому — пара зарядів, один над, а інший під площиною петлі для відповідного поля.
Загалом досить цікаво, що, почавши з зовсім різних законів, ∇·Е=ρ/ε0 і ∇XB=j/ε0c2, можна прийти до поля одного й того самого вигляду. Чому так виходить? Тому що дипольні поля виникають, лише коли ми перебуваємо далеко від усіх струмів і зарядів. Тоді в більшій частині простору рівняння для Е і В однакові: в обох дивергенція і ротор дорівнюють нулю. Отже, вони дають одні й ті самі розв'язки. Однак джерела, конфігурацію яких ми описуємо за допомогою дипольних моментів, фізично цілком різні. В одному випадку це циркулюючий струм, а в іншому — пара зарядів, один над, а інший під площиною петлі для відповідного поля.