Векторний потенціал

У цьому розділі ми продовжимо розмову про магнітостатику, тобто про постійні магнітні поля і постійні струми. Магнітне поле і електричні струми пов'язані нашими основними рівняннями:

Цього разу нам потрібно розв'язати ці рівняння математично найзагальнішим способом, а не посилатися на якусь особливу симетрію чи на інтуїцію. В електростатиці ми знайшли прямий спосіб обчислення поля, коли відомі положення всіх електричних зарядів: скалярний потенціал φ дається просто інтегралом по зарядах, як у рівнянні (4.25) на стор. 77. Якщо потім потрібно знати електричне поле, то його отримують диференціюванням φ. Ми покажемо зараз, що для знаходження поля В існує аналогічна процедура, якщо відома густина струму j усіх рухомих зарядів.
 
В електростатиці, як ми бачили (через те, що rot від Е всюди дорівнює нулю), завжди можна подати Е у вигляді градієнта від скалярного поля φ. А от rot від В не всюди дорівнює нулю, тому подати його у вигляді градієнта, взагалі кажучи, неможливо. Однак дивергенція В усюди дорівнює нулю, а це означає, що ми можемо подати В у вигляді ротора від іншого векторного поля. Бо, як ми бачили в розд. 2, § 8, дивергенція ротора завжди дорівнює нулю. Отже, ми завжди можемо виразити В через поле, яке ми позначимо А:

Або, розписуючи компоненти:

Запис В=vхА гарантує виконання (14.1), тому що обов'язково

Поле А називається векторним потенціалом.
 
Згадаймо, що скалярний потенціал φ виявляється не повністю визначеним. Якщо ми знайшли для якоїсь задачі потенціал φ, то завжди можна знайти так само добрий інший потенціал φ′, додавши сталу:

Новий потенціал φ′ дає ті самі електричні поля, тому що градієнт ∇С є нуль; φ′ і φ відповідають одній і тій самій картині.
 
Так само в нас може бути кілька векторних потенціалів А, що приводять до одних і тих самих магнітних полів. Знову ж таки, оскільки В отримується з А диференціюванням, то додавання до А константи не змінює фізики справи. Але для А свобода більша. Ми можемо додати до А будь-яке поле, яке є градієнтом від якогось скалярного поля, не змінюючи при цьому фізики. Це можна показати таким чином. Нехай у нас є А, яке в якійсь реальній задачі дає правильне поле В. Запитується, за яких умов інший векторний потенціал А′, будучи підставлений у (14.3), дає те саме поле В. Отже, А і А′ мають однаковий ротор

Але якщо ротор вектора є нуль, то вектор мусить бути градієнтом якогось скалярного поля, скажімо ψ, так що А′—A=∇ψ. Це означає, що якщо А є векторний потенціал, який відповідає даній задачі, то при будь-якому ψ

також буде векторним потенціалом, який тією самою мірою задовольняє дану задачу і приводить до того самого поля В.
 
Зазвичай буває зручно зменшити «свободу» А, накладаючи на нього довільно якусь іншу умову (майже так само ми вважали зручним — доволі часто — вибирати потенціал φ рівним нулю на великих відстанях). Ми можемо, наприклад, обмежити А, наклавши на нього таку умову, щоб дивергенція А чомусь дорівнювала. Ми завжди можемо це зробити, не зачіпаючи В. Так виходить тому, що, хоча А′ і А мають однаковий ротор і дають одне й те саме В, вони зовсім не зобов'язані мати однакову дивергенцію. Справді, ∇·A` = ∇·A+ ∇²ψ, і, підбираючи відповідне ψ, можна надати ∇·A′ будь-якого значення.
 
Чому слід прирівняти ∇·А? Вибір має забезпечити найбільшу математичну зручність і залежить від нашої задачі. Для магнітостатики ми зробимо простий вибір

(Потім, коли ми перейдемо до електродинаміки, ми змінимо наш вибір.) Отже, наше повне визначення А на цей момент є ∇хА = В і ∇·А = 0.
 
Щоб звикнути до векторного потенціалу, подивімося спершу, чому він дорівнює для однорідного магнітного поля В₀. Вибираючи вісь z у напрямку В₀, ми повинні мати

Розглядаючи ці рівняння, ми бачимо, що одним з можливих розв'язків є

Або з тим самим успіхом можна взяти

Ще один розв'язок є комбінацією перших двох

Зрозуміло, що для кожного поля В векторний потенціал А не єдиний; існує багато можливостей.
 
Третій розв'язок [рівняння (14.8)] має низку цікавих властивостей. Оскільки х-компонента пропорційна –у, а y-компонента пропорційна +х, то вектор А повинен бути перпендикулярний вектору, проведеному від осі z, який ми позначимо r′ (штрих означає, що це не вектор відстані від початку). Крім того, величина А пропорційна √x²+ y² і, отже, пропорційна r`. Тому А (для однорідного поля) може бути записане просто

Векторний потенціал А дорівнює за величиною Вr′/2 і обертається навколо осі z, як показано на фіг. 14.1. Якщо, наприклад, поле В є поле всередині соленоїда вздовж його осі, то векторний потенціал циркулює точнісінько так само, як і струми в соленоїді.
 
Векторний потенціал однорідного поля можна отримати і іншим способом. Циркуляцію А вздовж будь-якої замкненої петлі Г можна виразити через поверхневий інтеграл від ∇ХА за допомогою теореми Стокса [рівняння (3.38), стор. 63]

Але інтеграл  справа дорівнює потоку В крізь петлю,  тому

Отже, циркуляція А вздовж будь-якої петлі дорівнює потоку В крізь петлю. Якщо ми візьмемо круглу петлю радіуса r′ у площині, перпендикулярній однорідному полю В, то потік буде в  точності  дорівнювати

Якщо вибрати початок відліку в центрі петлі, так що А можна вважати спрямованим по дотичній і функцією лише  від  r′,  то циркуляція буде  дорівнювати

Як і раніше,  отримуємо
 У щойно розібраному прикладі ми обчислюємо векторний потенціал з магнітного поля, а зазвичай роблять навпаки. У складних задачах завжди простіше знайти векторний потенціал, а потім уже з нього знайти магнітне поле. Зараз ми покажемо, як це можна зробити.