Під час вивчення електростатики ми знайшли, що електричне поле відомого розподілу зарядів можна отримати одразу у вигляді інтеграла [рівняння (4.16)]
Зображення
Як ми бачили, обчислити цей інтеграл (а їх насправді три, по одному на кожну компоненту) зазвичай буває важче, ніж обчислити інтеграл для потенціалу і взяти від нього градієнт.
Подібний інтеграл пов'язує й магнітне поле зі струмами. Ми вже маємо інтеграл для А [рівняння (14.19)]; ми можемо отримати інтеграл і для В, якщо візьмемо ротор від обох частин:
Подібний інтеграл пов'язує й магнітне поле зі струмами. Ми вже маємо інтеграл для А [рівняння (14.19)]; ми можемо отримати інтеграл і для В, якщо візьмемо ротор від обох частин:
Зображення
А тепер ми повинні бути обережні. Оператор ротора означає взяття похідних від А(1), тобто він діє лише на координати (х1, y1, z1). Можна внести оператор ∇X під інтеграл, якщо пам'ятати, що він діє лише на змінні з індексом 1, які з'являються, звісно, лише в
Зображення
Ми отримуємо для x-компоненти В:
Зображення
Величина в дужках є просто x-компонента від
Зображення
Такі самі результати отримуються і для інших компонент, і ми маємо
Зображення
Інтеграл дає В одразу через відомі струми. Геометрія тут точнісінько така сама, яка зображена на фіг. 14.2.
Якщо струми течуть лише по тонких дротах, ми можемо, як у попередньому параграфі, негайно взяти інтеграл поперек дроту, замінивши jdV на Ids, де ds — елемент довжини дроту. Тоді, користуючись позначеннями фіг. 14.10, маємо
Якщо струми течуть лише по тонких дротах, ми можемо, як у попередньому параграфі, негайно взяти інтеграл поперек дроту, замінивши jdV на Ids, де ds — елемент довжини дроту. Тоді, користуючись позначеннями фіг. 14.10, маємо
Зображення
(Знак мінус з'являється тому, що ми змінили порядок векторного добутку.) Це рівняння для В називається законом Біо — Савара на честь учених, які його відкрили. Воно дає формулу для прямого обчислення магнітного поля, створюваного дротами зі струмом.
Ви, певно, здивувалися: «Яка ж користь від векторного потенціалу, якщо ми можемо одразу знайти В у вигляді векторного інтеграла? Зрештою, А теж визначається трьома інтегралами!» Через векторний добуток інтеграли для В зазвичай складніше влаштовані, як це видно з рівняння (14.41). Крім того, оскільки інтеграли для А схожі на електростатичні, нам не треба обчислювати їх заново. Нарешті, ми побачимо, що в складніших теоретичних питаннях, таких, як теорія відносності, в сучасному викладі законів механіки, на кшталт принципу найменшої дії, про який буде розказано пізніше, у квантовій механіці, векторний потенціал відіграє важливу роль.
Ви, певно, здивувалися: «Яка ж користь від векторного потенціалу, якщо ми можемо одразу знайти В у вигляді векторного інтеграла? Зрештою, А теж визначається трьома інтегралами!» Через векторний добуток інтеграли для В зазвичай складніше влаштовані, як це видно з рівняння (14.41). Крім того, оскільки інтеграли для А схожі на електростатичні, нам не треба обчислювати їх заново. Нарешті, ми побачимо, що в складніших теоретичних питаннях, таких, як теорія відносності, в сучасному викладі законів механіки, на кшталт принципу найменшої дії, про який буде розказано пізніше, у квантовій механіці, векторний потенціал відіграє важливу роль.