Якщо В визначається струмами, то й А теж. Ми хочемо тепер виразити А через струми. Почнемо з нашого основного рівняння (14.2):
Зображення
звідки, звісно, випливає
Зображення
Це рівняння для магнітостатики; воно схоже на рівняння
Зображення
для електростатики.
Наше рівняння (14.12) для векторного потенціалу стане ще більш схожим на рівняння для φ, якщо переписати ∇Х(∇хА), використовуючи векторну тотожність [див. рівняння (2.58) стор. 44]
Наше рівняння (14.12) для векторного потенціалу стане ще більш схожим на рівняння для φ, якщо переписати ∇Х(∇хА), використовуючи векторну тотожність [див. рівняння (2.58) стор. 44]
Зображення
Оскільки ми вибрали ∇·А = 0 (і тепер ви бачите, чому), рівняння (14.12) набуває вигляду
Зображення
Це векторне рівняння, звісно, розпадається на три рівняння
Зображення
і кожне з цих рівнянь математично ідентичне рівнянню
Зображення
Усе, що ми дізналися про знаходження потенціалу для відомого ρ, можна використати для знаходження кожної компоненти А, коли відоме j!
У розд. 4 ми бачили, що загальний розв'язок рівняння електростатики (14.17) має вигляд
У розд. 4 ми бачили, що загальний розв'язок рівняння електростатики (14.17) має вигляд
Зображення
Тоді ми негайно отримуємо загальний розв'язок для Аx:
Зображення
і аналогічно для Аy і Az. (Фіг. 14.2 нагадує вам про прийняті нами позначення для r12 і dV2.) Ми можемо об'єднати всі три розв'язки у векторній формі:Зображення
(Ви можете за бажанням перевірити прямим диференціюванням компонент, що цей інтеграл задовольняє ∇·А=0, оскільки ∇·j=0, а останнє, як ми бачили, повинно виконуватися для постійних струмів.)
Ми маємо, таким чином, загальний метод обчислення магнітного поля від постійних струмів. Принцип такий: x-компонента векторного потенціалу, що виникає від густини струму j, точнісінько така сама, як електричний потенціал φ, який був би створений густиною зарядів ρ, що дорівнює jx/с2, і аналогічно для у- і z-компонент. (Цей принцип діє лише для декартових компонент. Наприклад, «радіальна» компонента А не пов'язана таким самим чином з «радіальною» компонентою j.) Отже, з вектора густини струму j можна знайти А, користуючись рівняннями (14.19), тобто ми знаходимо кожну компоненту А, розв'язуючи три уявні електростатичні задачі для розподілів заряду ρ1= jx/с2, ρ2= jy/c2 і ρ3= jz/с2. Потім ми знаходимо В, обчисливши різні похідні від А, що входять у ∇ХА. Трохи складніше, ніж в електростатиці, але ідея та сама. Зараз ми проілюструємо теорію, обчисливши векторний потенціал у кількох окремих випадках.
Ми маємо, таким чином, загальний метод обчислення магнітного поля від постійних струмів. Принцип такий: x-компонента векторного потенціалу, що виникає від густини струму j, точнісінько така сама, як електричний потенціал φ, який був би створений густиною зарядів ρ, що дорівнює jx/с2, і аналогічно для у- і z-компонент. (Цей принцип діє лише для декартових компонент. Наприклад, «радіальна» компонента А не пов'язана таким самим чином з «радіальною» компонентою j.) Отже, з вектора густини струму j можна знайти А, користуючись рівняннями (14.19), тобто ми знаходимо кожну компоненту А, розв'язуючи три уявні електростатичні задачі для розподілів заряду ρ1= jx/с2, ρ2= jy/c2 і ρ3= jz/с2. Потім ми знаходимо В, обчисливши різні похідні від А, що входять у ∇ХА. Трохи складніше, ніж в електростатиці, але ідея та сама. Зараз ми проілюструємо теорію, обчисливши векторний потенціал у кількох окремих випадках.