Фейнмановские лекции по физике
Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):
Изображение
откуда, конечно, следует
Изображение
Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение
Изображение
для электростатики.
Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для φ, если переписать ∇Х(∇хА), используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]
Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для φ, если переписать ∇Х(∇хА), используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]
Изображение
Поскольку мы выбрали ∇·А = 0 (и теперь вы видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид
Изображение
Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
Изображение
и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению
Изображение
Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного ρ, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!
В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид
В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид
Изображение
Тогда мы немедленно получаем общее решение для Аx:
Изображение
и аналогично для Аy и Az. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для r12 и dV2.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:Изображение
(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет ∇·А=0, поскольку ∇·j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)
Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал φ, который был бы создан плотностью зарядов ρ, равной jx/с2, и аналогично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда ρ1= jx/с2, ρ2= jy/c2 и ρ3= jz/с2. Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в ∇ХА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.
Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал φ, который был бы создан плотностью зарядов ρ, равной jx/с2, и аналогично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда ρ1= jx/с2, ρ2= jy/c2 и ρ3= jz/с2. Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в ∇ХА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.