Довгий соленоїд

Ще приклад. Розглянемо знову нескінченно довгий соленоїд зі струмом по колу, що дорівнює nI на одиницю довжини. (Ми вважаємо, що є n витків дроту на одиницю довжини, кожен з яких несе струм I, і нехтуємо невеликими зазорами  між  витками.)
 
Точнісінько так само, як ми виводили «поверхневу густину заряду» σ, визначимо тут «поверхневу густину струму» J, що дорівнює струму на одиниці довжини по поверхні соленоїда (що, звісно, є просто середнє j, помножене на товщину тонкої намотки). Величина J тут дорівнює nI. Цей поверхневий  струм   (фіг.   14.4)   має  компоненти

Ми повинні тепер знайти А для такого розподілу струмів.
 
Насамперед знайдемо А_x у точках поза  соленоїдом. Результат такий самий, як електростатичний потенціал поза циліндром з  поверхневим  зарядом:

де σ₀=— J/с². Ми не розв'язували випадок такого розподілу заряду, але робили дещо схоже. Цей розподіл заряду еквівалентний двом жорстким циліндрам, що складаються із зарядів,  один  з додатних, інший з від'ємних, з малим відносним зміщенням їхніх осей у напрямку y. Потенціал такої пари циліндрів пропорційний похідній по y від потенціалу одного однорідно зарядженого циліндра. Ми, звісно, можемо обчислити константу пропорційності, але поки що не будемо з цим морочитися.
 
Потенціал   зарядженого  циліндра   пропорційний  ln r′; потенціал  пари тоді  дорівнює

Отже, ми знаємо, що

де K - деяка константа. Міркуючи точнісінько так само, знайдемо

Хоча  ми   раніше  казали,   що  поза   соленоїдом  магнітного поля немає, тепер ми знаходимо, що поле А існує і циркулює  навколо  осі  z  (див.   фіг. 14.4).   Виникає  питання: чи дорівнює нулю його ротор?
 
Очевидно, B_x і B_y дорівнюють нулю, а

Отже, магнітне поле поза дуже довгим соленоїдом справді дорівнює нулю, хоча векторний потенціал нулю не дорівнює.
 
Ми можемо перевірити наш результат, вдавшись до інших міркувань. Циркуляція векторного потенціалу навколо соленоїда повинна дорівнювати потоку B всередині котушки [рівняння (14.11)]. Циркуляція дорівнює А·2πr′ або, оскільки А=K/r′, вона дорівнює 2πK. Зауважте, що циркуляція не залежить від r′. Так і повинно бути, якщо В поза соленоїдом відсутнє, тому що потік є просто величина В всередині соленоїда, помножена на πа². Він той самий для всіх кіл з радіусом r′>a. Раніше ми знайшли, що поле всередині дорівнює nI/ε₀с², тому ми можемо визначити константу K:

Отже, векторний потенціал зовні має величину

і   завжди   перпендикулярний   вектору   r′.
 
Ми говорили про соленоїдальну котушку з дроту, але таке саме поле ми могли б створити, обертаючи довгий циліндр з електростатичним зарядом на поверхні. Якщо в нас є тонкий циліндричний шар радіуса a з поверхневим зарядом σ, то обертання циліндра утворює поверхневий струм J=σv, де v=aω — швидкість поверхневого заряду. Всередині циліндра тоді буде магнітне поле В=σ_aω/ε₀с².
Тепер можна поставити цікаве питання. Припустімо, що перпендикулярно до осі циліндра ми помістили короткий відрізок дроту W від осі до поверхні і прикріпили його до циліндра так, що дріт обертається разом з ним (фіг. 14.5). Цей дріт рухається в магнітному полі, так що сила vXB приведе до того, що кінці дроту зарядяться (вони будуть заряджатися доти, поки поле Е зарядів не зрівноважить сили vXB). Якщо циліндр заряджений позитивно, то кінець дроту поблизу осі матиме негативний заряд. Вимірюючи заряд на кінці дроту, ми могли б визначити швидкість обертання системи. Ми отримали б «кутовий швидкостемір»   (або «кутовий ситометр»)!
 
Але ви, напевно, засумніваєтеся: «А що, якщо я сам перейду,— скажете ви,— у систему координат циліндра, що обертається? Там заряджений циліндр спочиває, а я знаю з електростатичних рівнянь, що всередині циліндра жодного поля не буде, не буде й сили, що штовхає заряди до центру. Тому тут щось не так?» Ні. Усе правильно, «Відносності обертання» не існує. Система, що обертається, — не інерціальна система, і закони фізики в ній інші. Ми повинні користуватися рівняннями електромагнетизму лише в інерціальних системах координат.
 
Було б чудово, якби змогли виміряти абсолютне обертання Землі за допомогою такого зарядженого циліндра, але ефект, на жаль, настільки малий, що його неможливо спостерігати навіть за допомогою  найтонших сучасних приладів.