У цьому розділі ми хотіли показати, що, вивчаючи електростатику, ви водночас вчитеся орієнтуватися в багатьох питаннях фізики і що, пам'ятаючи про це, можна вивчити майже всю фізику за кілька років.
Але наприкінці, звісно, напрошується запитання: чому рівняння для різних явищ такі схожі? Ми могли б сказати: «У цьому проявляється фундаментальна єдність природи». Але що це означає? Що могло б означати таке твердження? Це могло б просто означати, що рівняння для різних явищ схожі; але тоді, звісно, ми не дали жодного пояснення. «Фундаментальна єдність» могла б означати, що все зроблено з одного й того самого матеріалу, а тому підпорядковується одним і тим самим рівнянням. Звучить як непогане пояснення, але поміркуймо. Електростатичний потенціал, дифузія нейтронів, потік тепла — невже ми справді маємо справу з одним і тим самим матеріалом? Чи можемо ми насправді уявити собі, що електростатичний потенціал фізично ідентичний температурі або густині частинок? Напевно φ не зовсім те саме, що теплова енергія частинок. Зміщення мембрани явно не схоже на температуру. З якого ж дива тоді тут проявляється «фундаментальна єдність»?
Більш пильний погляд на фізику різних питань показує, що рівняння насправді не ідентичні. Рівняння, знайдене нами для дифузії нейтронів, лише наближення, яке виявляється добрим, якщо відстань, що нас цікавить, велика порівняно з довжиною вільного пробігу. Якби ми придивилися уважніше, то побачили б, як рухаються окремі нейтрони. Звісно, рух одного нейтрона і гладкі зміни, які ми отримуємо при розв'язанні диференціального рівняння, — речі різні. Диференціальне рівняння — це наближення, тому що ми вважали, що нейтрони гладко розподілені в просторі.
Можливо, у цьому і полягає розгадка? Можливо, спільне всім явищам — це простір, ті рамки, в які вкладена фізика? Поки все змінюється в просторі досить плавно, важливими факторами, що входять у розгляд, будуть швидкості зміни величин залежно від положення в просторі. Ось чому в нас завжди виходить рівняння з градієнтом. Похідні мають з'являтися у вигляді градієнта або дивергенції; закони фізики не залежать від напрямку, тому вони мають виражатися у вигляді векторів. Рівняння електростатики — це найпростіші векторні рівняння, що включають тільки просторові похідні величин, які взагалі можна записати. Будь-яка інша проста проблема— або спрощення складної проблеми — має бути схожою на електростатику. Спільним для всіх наших задач є те, що вони пов'язані з простором, і те, що ми імітуємо по-справжньому складні явища простим диференціальним рівнянням.
Звідси виникає ще одне цікаве запитання. А чи не справедливе це твердження і для рівнянь електростатики? Можливо, і вони годяться тільки як згладжена імітація насправді набагато складнішого мікросвіту? І реальний світ складається з маленьких Х-онів, які можна розрізнити тільки на надзвичайно малих відстанях? А проводячи наші вимірювання, ми завжди спостерігаємо все в такому грубому масштабі, що не можемо побачити ці маленькі Х-они, ось чому ми і приходимо до диференціальних рівнянь?
Наша сучасна найповніша теорія електродинаміки справді виявляє труднощі на дуже малих відстанях. Тому в принципі можливо, що ці рівняння являють собою згладжені версії чогось. Вони виявляються правильними на відстанях аж до 10–14 см, але потім вони починають виглядати неправильними. Можливо, існує поки що не відкритий «механізм» і деталі внутрішнього складного устрою приховані в рівняннях, що мають гладкий вигляд, як це виходить у «гладкій» дифузії нейтронів. Але ніхто ще не зумів сформулювати успішної теорії, яка б працювала таким чином.
Як це не дивно, виявляється (з причин, у яких ми ще не розібралися), що комбінація релятивізму і квантової механіки, наскільки ми їх знаємо, вочевидь, забороняє вигадування рівнянь, фундаментально відмінних від рівняння (12.4) і водночас вільних від суперечностей. Зауважте: не через розбіжності з експериментом, а через внутрішні суперечності. Такі, як, скажімо, передбачення, що сума ймовірностей усіх можливих результатів стане не рівною одиниці або що енергії виявляються комплексними числами, або ще якась дурниця. Ніхто ще не створив теорію електрики, в якій ∇2φ =–ρ/ε0 розумілося б як згладжене наближення до глибшого механізму і яка не приводила б зрештою до якогось абсурду. Але треба сказати, що правильно також і те, що припущення про справедливість ∇2φ =–ρ/ε0 для будь-яких як завгодно малих відстаней теж приводить до дикого абсурду (електрична енергія електрона нескінченна) — абсурду, від якого ніхто ще не зумів позбутися.
Але наприкінці, звісно, напрошується запитання: чому рівняння для різних явищ такі схожі? Ми могли б сказати: «У цьому проявляється фундаментальна єдність природи». Але що це означає? Що могло б означати таке твердження? Це могло б просто означати, що рівняння для різних явищ схожі; але тоді, звісно, ми не дали жодного пояснення. «Фундаментальна єдність» могла б означати, що все зроблено з одного й того самого матеріалу, а тому підпорядковується одним і тим самим рівнянням. Звучить як непогане пояснення, але поміркуймо. Електростатичний потенціал, дифузія нейтронів, потік тепла — невже ми справді маємо справу з одним і тим самим матеріалом? Чи можемо ми насправді уявити собі, що електростатичний потенціал фізично ідентичний температурі або густині частинок? Напевно φ не зовсім те саме, що теплова енергія частинок. Зміщення мембрани явно не схоже на температуру. З якого ж дива тоді тут проявляється «фундаментальна єдність»?
Більш пильний погляд на фізику різних питань показує, що рівняння насправді не ідентичні. Рівняння, знайдене нами для дифузії нейтронів, лише наближення, яке виявляється добрим, якщо відстань, що нас цікавить, велика порівняно з довжиною вільного пробігу. Якби ми придивилися уважніше, то побачили б, як рухаються окремі нейтрони. Звісно, рух одного нейтрона і гладкі зміни, які ми отримуємо при розв'язанні диференціального рівняння, — речі різні. Диференціальне рівняння — це наближення, тому що ми вважали, що нейтрони гладко розподілені в просторі.
Можливо, у цьому і полягає розгадка? Можливо, спільне всім явищам — це простір, ті рамки, в які вкладена фізика? Поки все змінюється в просторі досить плавно, важливими факторами, що входять у розгляд, будуть швидкості зміни величин залежно від положення в просторі. Ось чому в нас завжди виходить рівняння з градієнтом. Похідні мають з'являтися у вигляді градієнта або дивергенції; закони фізики не залежать від напрямку, тому вони мають виражатися у вигляді векторів. Рівняння електростатики — це найпростіші векторні рівняння, що включають тільки просторові похідні величин, які взагалі можна записати. Будь-яка інша проста проблема— або спрощення складної проблеми — має бути схожою на електростатику. Спільним для всіх наших задач є те, що вони пов'язані з простором, і те, що ми імітуємо по-справжньому складні явища простим диференціальним рівнянням.
Звідси виникає ще одне цікаве запитання. А чи не справедливе це твердження і для рівнянь електростатики? Можливо, і вони годяться тільки як згладжена імітація насправді набагато складнішого мікросвіту? І реальний світ складається з маленьких Х-онів, які можна розрізнити тільки на надзвичайно малих відстанях? А проводячи наші вимірювання, ми завжди спостерігаємо все в такому грубому масштабі, що не можемо побачити ці маленькі Х-они, ось чому ми і приходимо до диференціальних рівнянь?
Наша сучасна найповніша теорія електродинаміки справді виявляє труднощі на дуже малих відстанях. Тому в принципі можливо, що ці рівняння являють собою згладжені версії чогось. Вони виявляються правильними на відстанях аж до 10–14 см, але потім вони починають виглядати неправильними. Можливо, існує поки що не відкритий «механізм» і деталі внутрішнього складного устрою приховані в рівняннях, що мають гладкий вигляд, як це виходить у «гладкій» дифузії нейтронів. Але ніхто ще не зумів сформулювати успішної теорії, яка б працювала таким чином.
Як це не дивно, виявляється (з причин, у яких ми ще не розібралися), що комбінація релятивізму і квантової механіки, наскільки ми їх знаємо, вочевидь, забороняє вигадування рівнянь, фундаментально відмінних від рівняння (12.4) і водночас вільних від суперечностей. Зауважте: не через розбіжності з експериментом, а через внутрішні суперечності. Такі, як, скажімо, передбачення, що сума ймовірностей усіх можливих результатів стане не рівною одиниці або що енергії виявляються комплексними числами, або ще якась дурниця. Ніхто ще не створив теорію електрики, в якій ∇2φ =–ρ/ε0 розумілося б як згладжене наближення до глибшого механізму і яка не приводила б зрештою до якогось абсурду. Але треба сказати, що правильно також і те, що припущення про справедливість ∇2φ =–ρ/ε0 для будь-яких як завгодно малих відстаней теж приводить до дикого абсурду (електрична енергія електрона нескінченна) — абсурду, від якого ніхто ще не зумів позбутися.