Поле маленькой петли. Магнитный диполь

Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют поля только на больших расстояниях по сравнению с размером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электрического диполя.
Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении z нет, поэтому А_z равно нулю. Есть токи в направлении x по обеим сторонам прямоугольника, длина которых a.
В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для А_x в точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14-7). Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см. гл. 6, § 5). В точке P на фиг. 14.6 потенциал равен

где р — дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке,  умноженному  на   расстояние  между   ними:

Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении y, поэтому косинус угла между R и р равен —y/R (где y — координата   P).   Итак,   мы   имеем

Заменяя λ на I/с², сразу же получаем  А_x

С помощью тех же рассуждений:

Снова А_y пропорционально x, а А_x пропорционально  —y, так что векторный потенциал (на больших расстояниях) идет по кругу вокруг оси z, циркулируя таким же образом, как ток I в петле (фиг. 14.8).
 
Величина А пропорциональна Iab, т. е. току, умноженному на площадь петли. Это произведение называется магнитным дипольным моментом (или часто просто «магнитным моментом») петли. Мы обозначим его через μ:

Векторный потенциал маленькой плоской петельки любой формы (круг, треугольник и т. п.) также дается уравнениями (14.30) и (14.31), если заменить Iab на

Мы  предоставляем  вам право  это доказать.
 
Нашему уравнению можно придать векторную форму, если определить вектор μ как нормаль к плоскости петли с положительным направлением, определяемым по правилу правой руки (см. фиг.  14.8). Тогда можно написать

Нам еще нужно найти В. Пользуясь (14.33) и (14.34), а также (14.4), получаем

(под многоточием мы подразумеваем  μ/4πε₀c²),

Компоненты поля В ведут себя точно так же, как компоненты поля Е для диполя, ориентированного вдоль оси z [см. уравнения (6.14) и (6.15), а также фиг. 6.5, стр. 115]. Вот почему мы называем петлю магнитным диполем. Слово «диполь» в применении к магнитному полю немного запутывает, потому что нет отдельных магнитных «полюсов», соответствующих электрическим зарядам. Магнитное «дипольное поле» создается не двумя «зарядами», а элементарной петлей с током.
 
В общем-то довольно любопытно, что, начав с совсем разных законов, ∇·Е=ρ/ε₀ и ∇XB=j/ε₀c², можно прийти к полю одного и того же вида. Почему так получается? Потому что дипольные поля возникают, только когда мы находимся далеко от всех токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для Е и В одинаковы: у обоих дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни и те же решения. Однако источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов, физически совершенно различны. В одном случае это циркулирующий ток, а в другом — пара зарядов, один над, а другой под плоскостью петли для соответствующего поля.