Ми хочемо тепер розглянути ротор поля приблизно так само, як розглядали дивергенцію. Ми вивели теорему Гаусса, обчислюючи інтеграл по поверхні, хоча із самого початку зовсім не було зрозуміло, що ми матимемо справу з дивергенцією. Звідки ж можна було знати, що для її отримання треба інтегрувати по поверхні? Цей результат зовсім не був очевидним. І так само невиправдано ми зараз обчислимо іншу характеристику поля і покажемо, що вона пов'язана з ротором. Цього разу ми підрахуємо так звану циркуляцію векторного поля. Якщо С — довільне векторне поле, ми візьмемо його складову вздовж кривої лінії і проінтегруємо цю складову по замкненому контуру. Інтеграл називається циркуляцією векторного поля по контуру. Ми вже раніше в цьому розділі розглядали криволінійний інтеграл від ∇ψ. Тепер ми те саме проробляємо з довільним векторним полем С.
Нехай Г — довільний замкнений контур у просторі (уявний, звісно). Приклад ми бачимо на фіг. 3.7. Криволінійний інтеграл від дотичної складової С по контуру записується у вигляді
Нехай Г — довільний замкнений контур у просторі (уявний, звісно). Приклад ми бачимо на фіг. 3.7. Криволінійний інтеграл від дотичної складової С по контуру записується у виглядіЗображення
Зауважте, що інтеграл береться по всьому замкненому шляху, а не від однієї точки до іншої, як це робилося раніше. Кружечок на знаку інтеграла має нам про це нагадувати. Такий інтеграл називається циркуляцією векторного поля по кривій Г. Назва пов'язана з тим, що спочатку так розраховували циркуляцію рідини. Але цю назву, як і потік, поширили на будь-які поля, навіть такі, у яких «циркулювати» нічому.
Бавлячись тією самою грою, що й з потоком, ми можемо показати, що циркуляція вздовж контуру є сумою циркуляцій вздовж двох менших контурів. Покладемо, що, з'єднавши дві точки (1) і (2) первісної кривої за допомогою якоїсь лінії, ми розбили криву на два контури Г1 і Г2 (фіг. 3.8). Контур Г1 складається з Гa — частини первісної кривої зліва від (1) і (2) та «з'єднання» ГаЬ. Контур Г2 складається з решти первісної кривої плюс те саме з'єднання.
Циркуляція вздовж Г1 є сумою інтеграла вздовж Гa і вздовж ГаЬ. Точно так само й циркуляція вздовж Г2 є сумою двох частин, однієї вздовж Гb, іншої — вздовж ГаЬ. Інтеграл вздовж ГаЬ для кривої Г2 має знак, протилежний тому знаку, який він мав для кривої Г1, тому що напрямки обходу протилежні (в обох криволінійних інтегралах напрямки повороту треба брати одні й ті самі).
Повторюючи попередні аргументи, ми можемо переконатися, що сума двох циркуляцій дасть якраз криволінійний інтеграл вздовж первісної кривої Г. Інтеграли по ГаЬ скоротяться. Циркуляція по одній частині плюс циркуляція вздовж іншої дорівнює циркуляції вздовж зовнішньої лінії. Цей процес розрізання великого контуру на менші можна продовжити. При додаванні циркуляцій по менших контурах суміжні частини скорочуватимуться, так що їхня сума зведеться до циркуляції вздовж єдиного первісного контуру.
Тепер припустимо, що первісний контур — це межа якоїсь поверхні. Існує нескінченна множина поверхонь, межею яких слугує той самий первісний замкнений контур. Наші результати не залежать, однак, від вибору цих поверхонь. Спершу ми розіб'ємо наш первісний контур на множину малих контурів, що лежать на вибраній поверхні (фіг. 3.9). Якою б не була форма поверхні, але якщо малі контури зробити достатньо малими, завжди можна буде вважати кожен з них таким, що замикає достатньо плоску поверхню. Крім того, кожен з них можна зробити дуже схожим на квадрат. І циркуляцію навколо великого контуру Г можна знайти, підрахувавши циркуляції по всіх квадратиках і склавши їх.
Бавлячись тією самою грою, що й з потоком, ми можемо показати, що циркуляція вздовж контуру є сумою циркуляцій вздовж двох менших контурів. Покладемо, що, з'єднавши дві точки (1) і (2) первісної кривої за допомогою якоїсь лінії, ми розбили криву на два контури Г1 і Г2 (фіг. 3.8). Контур Г1 складається з Гa — частини первісної кривої зліва від (1) і (2) та «з'єднання» ГаЬ. Контур Г2 складається з решти первісної кривої плюс те саме з'єднання.Циркуляція вздовж Г1 є сумою інтеграла вздовж Гa і вздовж ГаЬ. Точно так само й циркуляція вздовж Г2 є сумою двох частин, однієї вздовж Гb, іншої — вздовж ГаЬ. Інтеграл вздовж ГаЬ для кривої Г2 має знак, протилежний тому знаку, який він мав для кривої Г1, тому що напрямки обходу протилежні (в обох криволінійних інтегралах напрямки повороту треба брати одні й ті самі).
Повторюючи попередні аргументи, ми можемо переконатися, що сума двох циркуляцій дасть якраз криволінійний інтеграл вздовж первісної кривої Г. Інтеграли по ГаЬ скоротяться. Циркуляція по одній частині плюс циркуляція вздовж іншої дорівнює циркуляції вздовж зовнішньої лінії. Цей процес розрізання великого контуру на менші можна продовжити. При додаванні циркуляцій по менших контурах суміжні частини скорочуватимуться, так що їхня сума зведеться до циркуляції вздовж єдиного первісного контуру.
Тепер припустимо, що первісний контур — це межа якоїсь поверхні. Існує нескінченна множина поверхонь, межею яких слугує той самий первісний замкнений контур. Наші результати не залежать, однак, від вибору цих поверхонь. Спершу ми розіб'ємо наш первісний контур на множину малих контурів, що лежать на вибраній поверхні (фіг. 3.9). Якою б не була форма поверхні, але якщо малі контури зробити достатньо малими, завжди можна буде вважати кожен з них таким, що замикає достатньо плоску поверхню. Крім того, кожен з них можна зробити дуже схожим на квадрат. І циркуляцію навколо великого контуру Г можна знайти, підрахувавши циркуляції по всіх квадратиках і склавши їх.