Перш ніж розглядати наступну інтегральну теорему — теорему про дивергенцію,— хотілося б розібратися в одній ідеї, сенс якої у випадку теплового потоку легко засвоюється. Ми вже визначили вектор h, що являє собою кількість тепла, яке протікає крізь одиницю площі за одиницю часу. Покладемо, що всередині тіла є замкнена поверхня S, що обмежує об'єм V (фіг. 3.3). Нам хочеться дізнатися, скільки тепла витікає з цього об'єму. Ми це можемо, звісно, визначити, розрахувавши загальний тепловий потік через поверхню S.Позначимо через da площу елемента поверхні. Цей символ замінює двовимірний диференціал. Якщо, наприклад, елемент опиниться в площині ху, то
Зображення
Пізніше ми матимемо справу з інтегралами по об'єму, і тоді буде зручно розглядати елемент об'єму у вигляді малого кубика і позначати його dV, маючи на увазі, щоДехто пише і d2a замість da, щоб нагадати самому собі, що цей вираз другого степеня; замість dV пишуть також d3V. Ми будемо користуватися простішими позначеннями, а ви вже постарайтеся не забувати, що площі мають два виміри, а об'єми — три.
Потік тепла через елемент поверхні da дорівнює добутку площі на складову h, перпендикулярну до da. Ми вже визначали n — одиничний вектор, спрямований назовні перпендикулярно до поверхні (див. фіг. 3.3). Шукана складова h дорівнює
Зображення
і тоді потік тепла крізь da дорівнює
Зображення
А весь потік тепла через довільну поверхню виходить підсумовуванням внесків від усіх елементів поверхні. Іншими словами, (3.10) інтегрується по всій поверхні
Зображення
Цей інтеграл ми будемо називати «потік h через поверхню». Ми розглядаємо h як «густину потоку» тепла, а поверхневий інтеграл від h — це загальний потік тепла назовні через поверхню, тобто теплова енергія за одиницю часу (джоулі за секунду).
Ми хочемо цю ідею узагальнити на випадок, коли вектор не є потоком якоїсь величини, а, скажімо, є електричним полем. Звісно, якщо це буде потрібно, то і в цьому випадку все одно можна проінтегрувати нормальну складову електричного поля по площі. Хоча тепер вона вже не буде нічиїм потоком, ми все ще вживатимемо слово «потік». Ми говоритимемо, що
Ми хочемо цю ідею узагальнити на випадок, коли вектор не є потоком якоїсь величини, а, скажімо, є електричним полем. Звісно, якщо це буде потрібно, то і в цьому випадку все одно можна проінтегрувати нормальну складову електричного поля по площі. Хоча тепер вона вже не буде нічиїм потоком, ми все ще вживатимемо слово «потік». Ми говоритимемо, що
Зображення
Слову «потік» ми надаємо сенсу «поверхневого інтеграла від нормальної складової» якогось вектора. Те саме визначення застосовуватиметься і тоді, коли поверхня незамкнена.
А повертаючись до окремого випадку потоку тепла, звернімо увагу на ті випадки, коли кількість тепла зберігається. Уявіть собі, наприклад, матеріал, у якому після початкового підігріву не відбувається ні подальшого підведення, ні поглинання тепла. Тоді, якщо з якоїсь замкненої поверхні назовні надходить тепло, вміст тепла у внутрішньому об'ємі має спадати. Тож за умов, коли кількість тепла зберігається, ми говоримо, що
А повертаючись до окремого випадку потоку тепла, звернімо увагу на ті випадки, коли кількість тепла зберігається. Уявіть собі, наприклад, матеріал, у якому після початкового підігріву не відбувається ні подальшого підведення, ні поглинання тепла. Тоді, якщо з якоїсь замкненої поверхні назовні надходить тепло, вміст тепла у внутрішньому об'ємі має спадати. Тож за умов, коли кількість тепла зберігається, ми говоримо, що
Зображення
де Q — запас тепла всередині S. Потік тепла з S назовні дорівнює зі знаком мінус швидкості зміни з часом загального запасу тепла Q всередині S. Це тлумачення можливе тому, що йдеться про потік тепла, і тому, що ми припустили, що кількість тепла зберігається. Звісно, якби всередині об'єму створювалося тепло, не можна було б говорити про повний запас тепла в ньому.
Вкажемо тепер на цікаву властивість потоку будь-якого вектора. Можете при цьому уявляти собі вектор потоку тепла, але це буде правильно і для довільного векторного поля С. Уявіть собі замкнену поверхню S, що оточує об'єм V. Розіб'ємо тепер об'єм на дві частини якимось «перерізом» (фіг. 3.4). Вийшли два об'єми і дві замкнені поверхні. Об'єм V1 оточений поверхнею S1, складеною частково з колишньої поверхні Sa і частково з «перерізу» Sab. Об'єм V2 оточений поверхнею S2, складеною з решти колишньої поверхні (Sb) і замкненої перерізом Sab. Поставимо запитання: якщо ми розрахуємо потік через поверхню S1 і додамо до нього потік крізь поверхню S2, чи буде їхня сума дорівнювати потоку через первісну поверхню? Відповідь звучить: «Так». Потоки через частину Sab, спільну для обох поверхонь S1 і S2, точно скоротяться. Для потоку вектора С з V1 можна написати
Вкажемо тепер на цікаву властивість потоку будь-якого вектора. Можете при цьому уявляти собі вектор потоку тепла, але це буде правильно і для довільного векторного поля С. Уявіть собі замкнену поверхню S, що оточує об'єм V. Розіб'ємо тепер об'єм на дві частини якимось «перерізом» (фіг. 3.4). Вийшли два об'єми і дві замкнені поверхні. Об'єм V1 оточений поверхнею S1, складеною частково з колишньої поверхні Sa і частково з «перерізу» Sab. Об'єм V2 оточений поверхнею S2, складеною з решти колишньої поверхні (Sb) і замкненої перерізом Sab. Поставимо запитання: якщо ми розрахуємо потік через поверхню S1 і додамо до нього потік крізь поверхню S2, чи буде їхня сума дорівнювати потоку через первісну поверхню? Відповідь звучить: «Так». Потоки через частину Sab, спільну для обох поверхонь S1 і S2, точно скоротяться. Для потоку вектора С з V1 можна написатиЗображення
а для потоку з V2:
Зображення
Зауважте, що в другому інтегралі ми позначили зовнішню нормаль до Sab буквою n1, якщо вона стосується S1, і буквою n2, якщо вона стосується S2 (див. фіг. 3.4). Зрозуміло, що n1 = –n2, і тим самим
Зображення
Складаючи тепер рівняння (3.14) і (3.15), ми переконуємося, що сума потоків крізь S1 і S2 якраз дорівнює сумі двох інтегралів, які, взяті разом, дають потік через первісну поверхню S=Sa + Sb.
Ми бачимо, що потік через всю зовнішню поверхню S можна розглядати як суму потоків з тих двох частин, на які розрізаний об'єм. Ці частини можна ще розрізати: скажімо, V1 розбити навпіл. Знову доведеться вдатися до тих самих доводів. Тож для будь-якого способу розбиття первісного об'єму завжди залишається справедливою та властивість, що потік через зовнішню поверхню (первісний інтеграл) дорівнює сумі потоків з усіх внутрішніх частин.
Ми бачимо, що потік через всю зовнішню поверхню S можна розглядати як суму потоків з тих двох частин, на які розрізаний об'єм. Ці частини можна ще розрізати: скажімо, V1 розбити навпіл. Знову доведеться вдатися до тих самих доводів. Тож для будь-якого способу розбиття первісного об'єму завжди залишається справедливою та властивість, що потік через зовнішню поверхню (первісний інтеграл) дорівнює сумі потоків з усіх внутрішніх частин.