Теплопровідність; рівняння дифузії

Щоб звикнути до теореми, розберемо на прикладі, як її застосовують. Звернімося знову до поширення тепла, скажімо в металі. Розглянемо зовсім простий випадок: усе тепло було підведено до тіла заздалегідь, а тепер тіло остигає. Джерел тепла немає, тож кількість тепла зберігається. Скільки ж тоді тепла має опинитися всередині якогось певного об'єму в якийсь момент часу? Воно має зменшуватися якраз на ту кількість, яка йде з поверхні об'єму. Якщо цей об'єм — маленький кубик, то, слідуючи формулі (3.17), можна написати

Але це має дорівнювати швидкості втрати тепла нутром куба. Якщо q — кількість тепла в одиниці об'єму, то весь запас тепла в кубі  qΔV, а швидкість втрат дорівнює

Порівнюючи (3.19) з (3.20), ми бачимо, що

Уважно вдивіться у форму цього рівняння; ця форма часто трапляється у фізиці. Вона виражає закон збереження, у цьому випадку закон збереження тепла. У рівнянні (3.13) той самий фізичний факт був виражений інакше. Там була інтегральна форма рівняння збереження, а тут у нас — диференціальна форма.
 
Рівняння (3.21) ми отримали, застосувавши формулу (3.13) до нескінченно малого куба. Можна піти й іншим шляхом. Для великого об'єму V, обмеженого поверхнею S, закон Гаусса стверджує, що

Інтеграл у правій частині можна, використовуючи (3.21), перетворити якраз до вигляду  —dQ/dt, і тоді вийде формула (3.13).
 
Тепер розглянемо інший випадок. Уявімо, що в блоці речовини є маленька дірочка, а в ній іде хімічна реакція, що генерує тепло. Можна ще уявити собі, що до маленького опору всередині блока підведено дротики, які нагрівають його електричним струмом. Припустимо, що тепло створюється практично в одній точці, a W являє собою енергію, що виникає в цій точці за секунду. У решті ж частини об'єму нехай тепло зберігається і, крім того, нехай генерація тепла почалася так давно, що зараз температура вже ніде більше не змінюється. Питання полягає в такому: який вигляд має вектор потоку тепла h у різних точках металу? Скільки тепла перетікає через кожну точку?
Ми знаємо, що якщо ми інтегруватимемо нормальну складову h по замкненій поверхні, що оточує джерело, то завжди вийде W. Усе тепло, яке генерується в точковому джерелі, має протекти через поверхню, бо передбачається, що потік сталий. Перед нами важке завдання відшукання такого векторного поля, яке після інтегрування по довільній поверхні завжди давало б W. Але ми порівняно легко можемо знайти це поле, вибравши поверхню спеціального вигляду. Візьмемо сферу радіусом R з центром у джерелі і припустимо, що потік тепла радіальний (фіг. 3.6). Інтуїція нам підказує, що h має бути напрямлений по радіусу, якщо блок речовини великий і ми не наближаємося надто близько до його меж; крім того, величина h у всіх точках сфери має бути однаковою. Ви бачите, що для отримання відповіді до наших викладок ми змушені додати певну кількість здогадів (зазвичай це  називають  «фізичною   інтуїцією»).
Коли h радіальне і сферично симетричне, інтеграл від нормальної компоненти h по площі поверхні обчислюється дуже просто, тому що нормальна компонента точно дорівнює h і стала. Площа, по якій інтегрується, дорівнює 4πR². Тоді ми отримуємо

де h — абсолютна величина h. Цей інтеграл має дорівнювати W — швидкості, з якою джерело генерує тепло. Виходить

де, як завжди, е_r означає одиничний вектор у радіальному напрямку. Цей результат говорить нам, що h пропорційний W і змінюється обернено пропорційно квадрату відстані від джерела.
 
Щойно отриманий результат застосовний до потоку тепла поблизу точкового джерела тепла. Тепер спробуємо знайти рівняння, які справедливі для теплового потоку найзагальнішого вигляду (дотримуючись єдиної умови, що кількість тепла має зберігатися). Нас цікавитиме тільки те, що відбувається в місцях поза якимись джерелами чи поглиначами тепла.
 
Диференціальне рівняння поширення тепла було отримано в розд. 2. Відповідно до рівняння (2.44),

(Пам'ятайте, що це співвідношення наближене, але для деяких речовин на кшталт металів воно виконується непогано.) Застосовне воно, звісно, тільки в тих частинах тіла, де немає ні виділення, ні поглинання тепла. Вище ми вивели інше співвідношення (3.21), яке виконується тоді, коли кількість тепла зберігається. Якщо ми це рівняння скомбінуємо з (3.25), то отримаємо

якщо x — величина стала. Нагадую, що q — це кількість тепла в одиничному об'ємі, a ∇·v = ∇² — лапласіан, тобто  оператор

Якщо ми тепер зробимо ще одне припущення, одразу виникне одне дуже цікаве рівняння. Припустімо, що температура матеріалу пропорційна вмісту тепла в одиниці об'єму, тобто що матеріал має певну питому теплоємність. Коли це припущення правильне (а так буває часто), ми можемо писати

або

Швидкість зміни кількості тепла пропорційна швидкості зміни температури. Коефіцієнт пропорційності c_v тут — питома теплоємність на одиницю об'єму матеріалу. Підставляючи (3.27) у (3.26), отримуємо

Ми виявили, що швидкість зміни з часом температури T у кожній точці пропорційна лапласіану від T, тобто другим похідним від просторового розподілу температур. Ми маємо диференціальне рівняння — у змінних х, у, z і t — для температури T.
 
Диференціальне рівняння (3.28) називається рівнянням дифузії тепла, або рівнянням теплопровідності. Часто його пишуть у вигляді

де D — стала. Вона дорівнює x/c_v.
 
Рівняння дифузії з'являється в багатьох фізичних задачах: про дифузію газів, дифузію нейтронів та інших. Ми вже обговорювали фізику деяких таких явищ у вип. 4, розд. 43. Тепер перед вами повне рівняння, що описує дифузію в найзагальнішому вигляді. Трохи пізніше ми займемося розв'язанням рівняння дифузії, щоб подивитися, як розподіляється температура в деяких випадках. А зараз повернемося до розгляду інших теорем про векторні поля.