Циркуляція по квадрату; теорема Стокса

Як нам знайти циркуляцію по кожному квадратику? Усе залежить від того, як квадрат орієнтований у просторі. Якщо його орієнтація вдало підібрана (наприклад, він розташований в одній з координатних площин), то розрахунок зробити легко. Оскільки поки що ми не робили жодних припущень про орієнтацію осей координат, ми маємо право вибрати їх так, щоб той квадратик, на якому ми зосередили свою увагу, опинився в площині ху (фіг. 3.10). Якщо результат розрахунку буде виражений у векторному записі, то можна говорити, що він не залежить від спеціальної орієнтації площини.
Ми хочемо тепер знайти циркуляцію поля С по нашому квадратику. Криволінійне інтегрування легко провести, якщо квадратик зробити таким маленьким, щоб вектор С протягом однієї сторони квадрата змінювався дуже мало. (Це припущення виконується тим краще, чим менший квадратик, тож насправді йдеться про нескінченно малі квадратики.) Вирушивши з точки (х, у) — у лівому нижньому куті фігури,— ми обійдемо весь квадрат у напрямку, вказаному стрілками. Уздовж першої сторони, позначеної цифрою 1, дотична складова дорівнює С_x(1), а відстань дорівнює Δх. Перша частина інтеграла дорівнює С_x(1)Δх. Уздовж другої сторони вийде С_y(2)Δу. Уздовж третьої ми отримаємо —С_x(3)Δх, а вздовж четвертої —C_y(4) Δу. Знаки мінус стоять тому, що нас цікавить дотична складова в напрямку обходу. Увесь криволінійний інтеграл тоді дорівнює

Подивимося тепер на перший і третій члени. У сумі вони дають

Вам може здатися, що в прийнятому наближенні ця різниця дорівнює нулю. Але це лише в першому наближенні. Ми можемо бути точнішими і врахувати швидкість зміни С_x, тоді можна написати

У наступному наближенні підуть члени з (Δу)², але з огляду на те, що нас цікавить, зрештою, лише границя при Δу →О, цими членами можна знехтувати. Підставляючи (3.33) у (3.32), ми отримуємо

Похідну за нашої точності можна брати в точці (х, у).
 
Подібним чином решту два члени можна написати у вигляді

і циркуляція по квадрату тоді дорівнює

Цікаво, що в дужках вийшла якраз z-компонента ротора C. Множник ΔхΔу— це площа нашого квадрата. Тож циркуляцію (3.36) можна записати як

Але z-компонента це насправді компонента, нормальна до елемента поверхні.  Тому циркуляцію навколо квадратика можна задати й в інваріантному векторному записі:

У результаті маємо: циркуляція довільного вектора С по нескінченно малому квадрату дорівнює добутку складової ротора С, нормальної до поверхні, на площу квадрата.
Циркуляцію по довільному контуру Г тепер легко можна пов'язати з ротором векторного поля. Натягнемо на контур будь-яку підхожу поверхню S (як на фіг. 3.11) і складемо між собою циркуляції по всіх нескінченно малих квадратиках на цій поверхні. Суму можна записати у вигляді інтеграла. У підсумку вийде дуже корисна теорема, яку називають теоремою Стокса [на ім'я фізика Стокса].

де S — довільна поверхня, обмежена контуром Г. Тепер ми повинні ввести домовленість про знаки. На наведеній раніше фіг. 3.10 вісь z показує на вас, якщо система координат «звичайна», тобто «права». Коли в криволінійному інтегралі ми брали «позитивний» напрямок обходу, то циркуляція вийшла рівною z-компоненті вектора ∇ ХС. Обійди ми контур в інший бік, ми отримали б протилежний знак. Як узагалі дізнатися, який напрямок треба вибирати для позитивного напрямку «нормальної» компоненти вектора ∇xC? «Позитивну» нормаль треба завжди пов'язувати з напрямком так, як це було зроблено на фіг. 3.10. Загальний випадок показано на фіг. 3.11.
 
Для запам'ятовування годиться «правило правої руки». Якщо ви розташуєте пальці вашої правої руки вздовж контуру Г, щоб кінчики пальців показували позитивний напрямок обходу ds, то ваш великий палець вкаже напрямок позитивної нормалі до поверхні S.