Потік з куба; теорема Гаусса

Розглянемо тепер окремий випадок потоку з маленького кубика і отримаємо цікаву формулу. Нехай ребра куба напрямлені вздовж осей координат (фіг. 3.5), координати вершини, найближчої до початку, суть x, y, z, ребро куба в напрямку x дорівнює Δx:, ребро куба (а точніше, бруска) в напрямку y дорівнює Δy, а в напрямку z дорівнює Δz. Ми хочемо знайти потік векторного поля С через поверхню куба. Для цього обчислимо суму потоків через усі шість граней. Почнемо з грані 1 (див. фіг. 3.5). Потік назовні крізь неї дорівнює х-компоненті С з мінусом, проінтегрованій по площі грані. Він дорівнює

Оскільки куб вважається малим, цей інтеграл можна замінити значенням С_x у центрі грані [цю точку ми позначили (1)], помноженим на площу грані ΔyΔz:

Подібним чином потік назовні через грань 2 дорівнює

Величини С_x(1) і С_x(2), взагалі кажучи, трохи відрізняються. Якщо Δx достатньо мале, то можна написати

Існують, звісно, й інші члени, але в них входить (Δx)² і вищі степені Δx, і в границі малих Δx ними запросто можна знехтувати.  Отже, потік  крізь грань 2 дорівнює

Складаючи потоки через грані 1 і 2, отримуємо

Похідну потрібно обчислювати в центрі грані 1, тобто в точці [x, y + (Δy/2), z+(Δz/2)]. Але якщо куб дуже маленький, ми зробимо знехтувано малу помилку, якщо обчислимо її у вершині (x, y, z).
 
Повторюючи ті самі міркування з кожною парою граней, ми отримуємо

А загальний потік через усі грані дорівнює сумі цих членів. Ми виявляємо,  що

Сума похідних у дужках якраз є ∇·С, a ΔxΔyΔz=ΔV (об'єм куба). Таким чином, ми можемо стверджувати, що для нескінченно малого куба

Ми показали, що потік назовні з поверхні нескінченно малого куба дорівнює добутку дивергенції вектора на об'єм куба. Тепер ми розуміємо «сенс» поняття дивергенції вектора. Дивергенція вектора в точці P — це потік С («витікання» С назовні) на одиницю об'єму, взятого в околі P.
 
Ми пов'язали дивергенцію С з потоком С з нескінченно малого об'єму. Для будь-якого скінченного об'єму можна тепер використати факт, доведений вище, що сумарний потік з об'єму є сумою потоків з окремих його частин. Іншими словами, ми можемо проінтегрувати дивергенцію по всьому об'єму. Це приводить нас до теореми, згідно з якою інтеграл від нормальної складової довільного вектора по замкненій поверхні можна подати також у вигляді інтеграла від дивергенції вектора по об'єму, укладеному всередині поверхні. Цю теорему називають теоремою Гаусса.

де S — довільна  замкнена поверхня, V — об'єм всередині неї.