Поля без роторів і поля без дивергенцій

Тепер перейдімо до деяких наслідків із наших нових теорем. Візьмемо спершу випадок вектора, у якого ротор (або вихор) всюди дорівнює нулю. Тоді, згідно з теоремою Стокса, циркуляція по будь-якому контуру — нуль. Якщо ми тепер візьмемо дві точки (1) і (2) на замкненій кривій (фіг. 3.12), то криволінійний інтеграл від дотичної складової від (1) до (2) не повинен залежати від того, який з двох можливих шляхів ми обрали. Можна зробити висновок, що інтеграл від (1) до (2) може залежати тільки від розташування цих точок, тобто що він є функцією тільки координат точок. Тією самою логікою ми користувалися у вип. 1, розд. 14, коли доводили, що якщо інтеграл від якоїсь величини по довільному замкненому контуру завжди дорівнює нулю, то цей інтеграл можна подати у вигляді різниці функцій від координат двох кінців. Це дало нам змогу винайти поняття потенціалу. Ми довели далі, що векторне поле є градієнтом цієї потенціальної функції [див. вип. 1, рівняння (14.13)].
Звідси випливає, що будь-яке векторне поле, у якого ротор дорівнює нулю, може бути подане у вигляді градієнта якоїсь скалярної функції, тобто якщо ΔхС=0 всюди, то існує якась функція ψ (псі), для якої С = ∇ψ (корисне подання). Отже, ми можемо, якщо захочемо, описувати цей рід векторних полів за допомогою скалярних полів.
 
Тепер доведемо ще одну формулу. Нехай у нас є довільне скалярне поле φ (фі). Якщо взяти його градієнт ∇φ, то інтеграл від цього вектора по будь-якому замкненому контуру повинен дорівнювати нулю. Криволінійний інтеграл від точки (1) до точки (2) дорівнює [φ(2)–φ(1)]. Якщо точки (1) і (2) збігаються, то наша теорема 1 [рівняння (3.8)] повідомляє нам, що криволінійний інтеграл дорівнює нулю:

Застосовуючи  теорему Стокса, можна зробити висновок, що

по будь-якій поверхні. Але раз інтеграл по будь-якій поверхні дорівнює нулю, то підінтегральний вираз зобов'язаний дорівнювати нулю. Отже,

Той самий результат був доведений у розд. 2, § 7 за допомогою векторної алгебри.
Розглянемо тепер окремий випадок, коли на маленький контур Г натягується велика поверхня S (фіг. 3.13). Ми хочемо подивитися, що станеться, коли контур стягнеться в точку. Тоді межа поверхні зникне, а сама поверхня перетвориться на замкнену. Якщо вектор С всюди скінченний, то криволінійний інтеграл по Г повинен прямувати до нуля в міру стягування контуру (інтеграл, загалом кажучи, пропорційний довжині контуру Г, а вона спадає). Згідно з теоремою Стокса, поверхневий інтеграл від (∇ХС)_n теж повинен спадати до нуля. Коли поверхня замикається, то при цьому якимось чином в інтеграл привноситься внесок, який взаємно знищується з накопиченим раніше. Виходить нова теорема:

Це має нас зацікавити, тому що в нас уже є одна теорема про поверхневий інтеграл векторного поля. Такий поверхневий інтеграл дорівнює об'ємному інтегралу від дивергенції вектора, як це випливає з теореми Гаусса [рівняння (3.18)]. Теорема Гаусса, застосована до ∇ХС, стверджує,  що

Ми робимо висновок, що інтеграл у правій частині повинен обертатися в нуль

і що це повинно бути справедливим для будь-якого векторного поля С, яким би воно не було. Раз рівняння (3.41) виконане для довільного об'єму, то в кожній точці простору підінтегральний вираз повинен дорівнювати нулю. Виходить, що

Той самий результат був виведений за допомогою векторної алгебри в розд. 2, § 7. Тепер ми починаємо розуміти, як усе тут прилагоджено одне до одного.