Поле всередині порожнини провідника

Повернімося тепер до проблеми порожнистого резервуара — провідника, що має всередині порожнину. У металі поля немає, а от чи є воно в порожнині? Покажемо, що якщо порожнина порожня, то поля в ній бути не може, якою б не була форма провідника чи порожнини (фіг. 5.12). Розглянемо гауссову поверхню, подібну до S на фіг. 5.12, яка оточує собою порожнину, але залишається всюди в речовині провідника. Всюди на поверхні S поле дорівнює нулю, тож потоку крізь S бути не може, і сумарний заряд усередині S має дорівнювати нулю. Далі можна вивести із симетрії, що на внутрішній поверхні сферичної оболонки немає жодного заряду. Але в більш загальному випадку ми можемо сказати лише, що на внутрішній поверхні провідника є рівна кількість додатного і від'ємного зарядів. Може виявитися, що на одній частині є додатний заряд, а десь в іншому місці — від'ємний (див. фіг. 5.12)? Такі речі законом Гаусса не виключаються.
Насправді, звісно, виходить, що рівні, але протилежні заряди на внутрішній поверхні мали б зіслизнути назустріч одне одному і знищити одне одного. Ми можемо переконатися в тому, що вони знищать одне одного, застосувавши закон про рівність нулю циркуляції Е (електростатику). Нехай на якихось частинах внутрішньої поверхні опинилися заряди. Ми знаємо, що ще десь має бути присутньою рівна кількість протилежних зарядів. Але будь-які лінії поля Е починаються на додатних зарядах і закінчуються на від'ємних (ми розглядаємо випадок, коли вільних зарядів у порожнині немає). Уявімо собі тепер контур Г, що перетинає порожнину вздовж силової лінії від якогось додатного заряду до якогось від'ємного і повертається до вихідної точки крізь тіло провідника (див. фіг. 5.12). Інтеграл уздовж такої силової лінії в межах від додатного до від'ємного заряду не дорівнював би нулю, а інтеграл по шляху крізь метал дорівнює нулю, оскільки там Е = 0. Тож ми мали б

Але криволінійний інтеграл від Е по будь-якому замкненому контуру в електростатичному полі завжди дорівнює нулю. Отже, всередині порожньої порожнини не може бути жодних полів, так само як не може бути жодних зарядів на внутрішній поверхні.
 
Зауважте, що ми весь час підкреслювали, що порожнина порожня. Якщо помістити якісь заряди у фіксованих місцях порожнини (скажімо, на ізоляторі або на невеликому провіднику, ізольованому від основного), то всередині порожнини можуть бути поля. Але тоді вона вже не буде «порожньою».
 
Ми показали, що якщо порожнина цілком оточена провідником, то жодний статичний розподіл зарядів зовні ніколи не створить поля всередині. Це пояснює принцип «захисту» електричного обладнання, яке поміщається в металеву коробку. До тих самих міркувань можна вдатися, якщо потрібно показати, що жодний статичний розподіл зарядів усередині заземленого замкненого суцільного провідника не може створити поля поза ним. Захист діє в обидва боки! В електростатиці (але не в змінних полях) поля по обидва боки суцільної провідної оболонки цілком не залежать одне від одного.
 
Тепер ви розумієте, чому вдалося перевірити закон Кулона з такою точністю. Форма порожньої оболонки не мала значення. Вона зовсім не мусила бути круглою, вона могла бути й кубом! Якщо закон Гаусса точний, то поле всередині завжди дорівнює нулю. Ви розумієте тепер, чому цілком безпечно сидіти всередині високовольтного генератора Ван-де-Граафа в мільйон вольт, не боячись, що вас ударить струм, — Вас охороняє сам Гаусс!