Імпульс поля рухомого заряду

Візьмемо рівномірно рухомий електрон і припустімо на хвилину, що його швидкість мала порівняно зі швидкістю світла. З таким рухомим електроном завжди пов'язаний якийсь імпульс — навіть якщо в електрона до того, як він був заряджений, не було жодної маси — це імпульс електромагнітного поля. Ми покажемо, що для малих швидкостей він пропорційний швидкості v і збігається з нею за напрямком. У точці P, що перебуває на відстані r від центра заряду й під кутом θ до лінії його руху (фіг. 28.1), електричне поле радіальне, а магнітне, як ми бачили, дорівнює vXE/c². Густина ж імпульсу, відповідно до формули (27.21), буде

Вона обов'язково спрямована вздовж лінії руху, як це видно з рисунка, і за величиною дорівнює

Поле симетричне відносно лінії руху заряду, тому поперечні компоненти дадуть у сумі нуль, і здобутий у результаті імпульс буде паралельний швидкості v. Величину складової вектора g у цьому напрямку, що дорівнює g sin θ, потрібно проінтегрувати по всьому простору. Як елемент об'єму візьмемо кільце, площина якого перпендикулярна v (фіг. 28.2). Об'єм його дорівнює 2πr²sin θ dθ dr. Повний імпульс буде при цьому

Оскільки E не залежить від кута θ (для v << c) , то за кутом можна одразу проінтегрувати:

Інтегрування за θ  ведеться в  межах  від 0 до π, тож цей інтеграл дає просто множник ⁴/3, тобто

А такий інтеграл (для v << c) ми щойно обчислювали, щоб знайти енергію; він дорівнює  q²/16π²ε₀²а, так що

Імпульс поля, тобто електромагнітний імпульс, виявився пропорційним v. Зокрема, той самий вираз отримався б для частинки з масою, що дорівнює коефіцієнту пропорційності при v. Ось чому цей коефіцієнт пропорційності ми можемо назвати електромагнітною масою m_ем, тобто покласти