Поле ядерних сил

Мені хотілося б зробити ще кілька зауважень про неелектромагнітну частину маси ядерних частинок. Звідки береться велика частка їхньої маси? Крім електродинамічних сил, існують ще сили іншого роду — ядерні сили, у яких є своя власна теорія поля, хоча нікому не відомо, правильна вона чи ні. Ця теорія також передбачає енергію поля, яка для ядерних частинок дає масу, аналогічну електромагнітній. Її можна називати «π-мезопольовою масою». Вона, вочевидь, дуже велика, оскільки ядерні сили надзвичайно потужні, і можливо, що саме вони є причиною маси важких частинок. Однак теорії мезонних полів перебувають у вельми зародковому стані. Навіть у порівняно добре розвиненій теорії електромагнетизму ми бачили, що, крім первісних натяків, неможливо отримати пояснення маси електрона. У мезонних же теоріях ми в цьому місці теж зазнаємо невдачі.
 
Однак мезонна теорія дуже цікаво пов'язана з електродинамікою, тому варто все ж приділити трохи часу викладу її основ. Поле в електродинаміці можна описати чотиривектором потенціалу, що задовольняє рівнянню

Ми бачили, що поле може бути випромінене, після чого воно існує незалежно від джерела. Це фотони, і вони описуються диференціальним рівнянням без джерела:

Деякі фізики стверджують, що поле ядерних сил теж повинно мати свої власні «фотони», роль яких, вочевидь, відіграють π-мезони, і що вони повинні описуватися аналогічним диференціальним рівнянням. (До чого ж безсилий людський розум! Ми не можемо вигадати чогось справді нового і беремося міркувати тільки за аналогією з тим, що знаємо.) Таким чином, можливим рівнянням для мезонів буде

де φ може бути якимось іншим чотиривектором або, можливо, скаляром. Далі з'ясувалося, що в π-мезона жодної поляризації немає, тому φ повинно бути скаляром. Згідно з цим простим рівнянням, мезонне поле повинно змінюватися з відстанню від джерела як 1/r², тобто точно як електричне. Однак ми знаємо, що радіус дії ядерних сил набагато менший, чого не може забезпечити нам це просте рівняння. Є тільки один спосіб змінити становище речей, не руйнуючи релятивістської інваріантності,— додати або відняти від даламбертіана добуток константи на поле φ. Отже, Юкава припустив, що вільні кванти ядерних сил можуть підкорятися рівнянню

де μ² — певна стала, тобто якийсь скаляр. (Оскільки □² є скалярним диференціальним оператором, то інваріантність не порушиться, якщо ми додамо до нього інший скаляр.)
 
Давайте подивимося, що дає рівняння (28.17), коли ядерні сили не змінюються з часом. Ми хочемо знайти розв'язок рівняння

яке було б сферично симетричним відносно якоїсь точки, скажімо відносно початку координат. Якщо φ залежить тільки від r, то ми знаємо, що

Таким чином, виходить рівняння

Розглядаючи тепер добуток (rφ) як нову функцію, ми маємо для неї рівняння, яке зустрічалося нам уже багато разів. Розв'язок її має вигляд

Зрозуміло, що при великих r поле φ не може бути нескінченним, тому потрібно відкинути знак плюс у показнику експоненти, після чого розв'язок набуде вигляду

Ця функція називається потенціалом Юкави. Для сил притягання K повинно бути від'ємним числом, величина якого підбирається так, щоб задовольнити експериментально спостережувану величину ядерних сил.
 
Потенціал Юкави завдяки експоненційному множнику згасає швидше, ніж 1/r. Як це видно з фіг. 28.6, для відстаней, що перевищують 1/μ, потенціал, а отже, і ядерні сили наближаються до нуля набагато швидше, ніж 1/r. Тому «радіус дії» ядерних сил набагато менший за «радіус дії» електростатичних. Експериментально доведено, що ядерні сили не поширюються на відстані понад 10^–13 см, тому μ≈10¹⁵ м^–1.
 
І, нарешті, давайте розглянемо хвильовий розв'язок рівняння (28.17). Якщо ми підставимо в нього

Пов'язуючи тепер частоту з енергією, а хвильове число з імпульсом, як це робилося наприкінці розд. 34 (вип. 3), ми знайдемо співвідношення

яке каже, що маса «фотона» Юкави дорівнює μh/c. Якщо як μ взяти величину ≈10¹⁵м^–1, яку дає спостережуваний радіус дії ядерних сил, то маса виявляється рівною 3·10^–25 г, або 170 МеВ, що приблизно дорівнює спостережуваній масі π-мезона. Таким чином, за аналогією з електродинамікою ми б сказали, що π-мезон — це «фотон» поля ядерних сил. Однак тепер ми поширили ідеї електродинаміки на таку область, де вони насправді можуть виявитися і невірними. Ми вийшли далеко за рамки електродинаміки й опинилися перед проблемою ядерних сил.