Синтез теорії відносності та рівнянь Максвелла в основному завершує наше вивчення теорії електромагнетизму. Звісно, дорогою ми проскочили повз деякі деталі і залишили незачепленою чималу область, до якої, однак, ми ще повернемося в майбутньому, коли займемося взаємодією електромагнітного поля з речовиною. І все ж, якщо затриматися ще на хвилину і подивитися на фасад цієї дивовижної споруди, що мала такий величезний успіх у поясненні стількох явищ, то можна виявити, що вона ось-ось завалиться і розсиплеться на шматки. Якщо ви глибше вгризетеся мало не в будь-яку з наших фізичних теорій, то виявите, що врешті-решт потрапляєте в якусь неприємну історію. Зараз нам належить обговорити серйозну складність — неспроможність класичної електромагнітної теорії. Може здатися, що це порушення, природно, пов'язане з падінням усієї класичної теорії під ударами квантовомеханічних ефектів. Візьміть класичну механіку. Математично це цілком самоузгоджена теорія, хоча дослід її і відкидає. Однак найцікавіше те, що класична теорія електромагнетизму незадовільна сама по собі. У ній досі є труднощі, пов'язані з самими ідеями теорії Максвелла, які не мають безпосереднього стосунку до квантової механіки. Ви можете подумати: «А навіщо нам завчасно перейматися цими труднощами? Адже квантова механіка однаково змінить закони електродинаміки. Чи не краще зачекати й подивитися, у що перетворяться ці труднощі після змін?» Однак труднощі залишаються і після поєднання електродинаміки з квантовою механікою, тож розгляд їх зараз не буде марною тратою часу; до того ж вони дуже важливі з історичного погляду. Крім того, якщо ви спроможні настільки глибоко проникнути в теорію, щоб побачити в ній усе, не виключаючи й труднощів, то це дає вам певне відчуття завершеності.
Складність, про яку я збираюся говорити, пов'язана із застосуванням понять електромагнітного імпульсу та енергії до електрона або іншої зарядженої частинки. Поняття простих заряджених частинок і електромагнітного поля якось не узгоджуються одне з одним. Опис цієї складності ми почнемо з кількох прикладів обчислення енергії та імпульсу. Знайдемо спочатку енергію зарядженої частинки. Уявіть, що ми взяли найпростішу модель електрона, коли весь його заряд q рівномірно розподілений по поверхні сфери радіусом a. У особливому випадку точкового заряду ми можемо покласти його рівним нулю. Тепер обчислимо енергію електромагнітного поля. Якщо заряд нерухомий, то жодного магнітного поля довкола немає, і енергія в одиниці об'єму буде пропорційна квадрату напруженості електричного поля. Величина ж напруженості електричного поля дорівнює q/4πε0r2, тому густина енергії
Складність, про яку я збираюся говорити, пов'язана із застосуванням понять електромагнітного імпульсу та енергії до електрона або іншої зарядженої частинки. Поняття простих заряджених частинок і електромагнітного поля якось не узгоджуються одне з одним. Опис цієї складності ми почнемо з кількох прикладів обчислення енергії та імпульсу. Знайдемо спочатку енергію зарядженої частинки. Уявіть, що ми взяли найпростішу модель електрона, коли весь його заряд q рівномірно розподілений по поверхні сфери радіусом a. У особливому випадку точкового заряду ми можемо покласти його рівним нулю. Тепер обчислимо енергію електромагнітного поля. Якщо заряд нерухомий, то жодного магнітного поля довкола немає, і енергія в одиниці об'єму буде пропорційна квадрату напруженості електричного поля. Величина ж напруженості електричного поля дорівнює q/4πε0r2, тому густина енергії
Зображення
Щоб отримати повну енергію, потрібно цю густину проінтегрувати по всьому простору. Використовуючи елемент об'єму 4πr2dr, знайдемо повну енергію, яку ми позначимо через Uел:
Зображення
Цей вираз інтегрується дуже просто. Нижня межа інтегрування дорівнює a, а верхня — нескінченності, тому
Зображення
Якщо замість q підставити заряд електрона qe і позначити символом е2 комбінацію qe2/4πε0, то отримаємо
Зображення
Усе йде добре доти, доки ми не переходимо до точкового заряду, тобто доки ми не покладемо а=0. Але щойно ми переходимо до точкового заряду, починаються всі наші біди. І все тому, що енергія поля змінюється обернено пропорційно четвертому степеню відстані, інтеграл по об'єму стає розбіжним, а кількість енергії, що оточує точковий заряд, виявляється нескінченною.
Але чим, власне, погана нескінченна енергія? Чи є якась реальна складність у тому, що енергія нікуди не може піти від заряду і приречена назавжди залишатися біля нього? Прикро, звісно, що величина виявилася нескінченною, але головне питання в тому — чи є тут якийсь спостережуваний фізичний ефект? Щоб відповісти на нього, потрібно звернутися не до енергії, а до чогось іншого. Нас може, скажімо, зацікавити, як змінюється енергія, коли заряд рухається. Якщо при цьому виявиться нескінченною зміна, то справа зовсім погана.
Але чим, власне, погана нескінченна енергія? Чи є якась реальна складність у тому, що енергія нікуди не може піти від заряду і приречена назавжди залишатися біля нього? Прикро, звісно, що величина виявилася нескінченною, але головне питання в тому — чи є тут якийсь спостережуваний фізичний ефект? Щоб відповісти на нього, потрібно звернутися не до енергії, а до чогось іншого. Нас може, скажімо, зацікавити, як змінюється енергія, коли заряд рухається. Якщо при цьому виявиться нескінченною зміна, то справа зовсім погана.