Импульс поля движущегося заряда

Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке P, находящейся на расстоянии r от центра заряда и под углом θ к линии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно vXE/c². Плотность же импульса, в соответствии с формулой (27.21), будет

Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна

Поле симметрично относительно линии движения заряда, поэтому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v. Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную g sin θ, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпендикулярна v (фиг. 28.2). Объем его равен 2πr²sin θ dθ dr. Полный импульс будет при этом

Поскольку E не зависит от угла θ (для v << c) , то по углу можно немедленно проинтегрировать:

Интегрирование по θ  ведется в  пределах  от 0 до π, так что этот интеграл дает просто множитель ⁴/3, т. е.

А такой интеграл (для v << c) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен  q²/16π²ε₀²а, так что

Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным v. В частности, тоже самое выражение получилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропорциональности при v. Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой m_эм, т. е. положить