Прискорення частинки в індукованому електричному полі. Бетатрон

Ми вже говорили, що е. р. с., створена змінюваним магнітним полем, може існувати навіть за відсутності провідників; тобто магнітна індукція можлива без дротів. Ми можемо уявити собі е. р. с. вздовж довільної математичної кривої в просторі. Вона визначається як тангенціальна компонента Е, проінтегрована вздовж кривої. Закон Фарадея стверджує, що цей контурний інтеграл дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через замкнену криву [співвідношення (17.3)].
Як приклад дії такого індукованого електричного поля ми зараз розглянемо рух електрона в змінюваному магнітному полі. Уявімо собі магнітне поле, яке всюди на площині спрямоване по вертикалі (фіг. 17.4). Магнітне поле створюється електромагнітом, але деталі нас тут цікавити не будуть. У нашому прикладі ми припустимо,  що магнітне  поле  симетричне відносно деякої осі, тобто напруженість магнітного поля залежить тільки від відстані до осі. Магнітне поле змінюється також із часом. Уявімо тепер, що електрон у цьому полі рухається по коловій траєкторії сталого радіуса з центром на осі поля. (Пізніше ми побачимо, як можна створити такий рух.) Магнітне поле, що змінюється, створює електричне поле Е, дотичне до орбіти електрона, яке рухатиме його по колу. Внаслідок симетрії це електричне поле всюди на колі набуває одного й того самого значення. Якщо орбіта електрона має радіус r, то контурний інтеграл від Е по орбіті дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через коло. Контурний інтеграл від Е дорівнює просто величині E, помноженій на довжину кола 2πr. Магнітний потік, взагалі кажучи, дається інтегралом. Позначимо через В_ср — середнє магнітне поле всередині кола; тоді потік дорівнює цьому середньому магнітному полю, помноженому на площу круга. Ми отримаємо (відволікаючись від знака)

Оскільки ми припустили, що r — величина стала, то E пропорційне похідній за часом від середнього поля:

Електрон відчуватиме електричну силу qE і прискорюватиметься нею. Пам'ятаючи, що на підставі точного релятивістського рівняння руху швидкість зміни імпульсу пропорційна силі, маємо

Для прийнятої нами колової орбіти електрична сила, що діє на електрон, завжди спрямована вздовж руху, тому повний імпульс зростатиме зі швидкістю, яку дає рівність (17.5). Комбінуючи (17.5) і (17.4), можна зв'язати швидкість зміни імпульсу зі зміною середнього магнітного  поля:

Інтегруючи за t, отримуємо такий вираз для імпульсу  електрона:

де р₀ — імпульс,  з яким електрон починає рухатися, а ΔB_ср — наступна   зміна B_ср.   Робота бетатрона — машини, що прискорює електрони до великих енергій, заснована саме на цій ідеї.
 
Щоб зрозуміти, як працює бетатрон, потрібно уявляти собі принцип руху електрона по колу. У розд. 11 (вип. 1) ми вже обговорювали цей принцип. Якщо на орбіті електрона створити магнітне поле В, виникне поперечна сила qv X В, яка при відповідному виборі В може змусити електрон рухатися по передбачуваній орбіті. У бетатроні ця поперечна сила спричиняє рух електрона по коловій орбіті сталого радіуса. Ми можемо визначити, яким має бути магнітне поле на орбіті, знову за допомогою релятивістського рівняння руху, але цього разу для поперечної компоненти сили. У бетатроні (див. фіг. 17.4) поле В перпендикулярне v, тому поперечна сила дорівнює qvB. Таким чином, сила дорівнює швидкості зміни поперечної компоненти імпульсу p_t:

Коли частинка рухається по колу, швидкість зміни поперечного імпульсу дорівнює величині повного імпульсу, помноженій на ω — кутову швидкість обертання (згідно з аргументами, наведеними в розд. 11, вип. 1):

де, оскільки рух коловий

Вважаючи магнітну силу рівною поперечному прискоренню, маємо

де B_орб — поле при радіусі,  що дорівнює r.
 
У запущеному в дію бетатроні імпульс електрона, згідно з виразом (17.7), зростає пропорційно B_ср, і щоб електрон продовжував рухатися по власному колу, рівність (17.11) має, як і раніше, виконуватися разом зі зростанням імпульсу електрона. Величина B_орб має зростати пропорційно імпульсу p. Порівнюючи (17.11) з (17.7), що визначає p, ми бачимо, що має виконуватися таке співвідношення між В_ср — середнім магнітним полем усередині орбіти радіуса r і магнітним полем B_орб на орбіті:

Для правильної роботи бетатрона потрібно, щоб середнє магнітне поле всередині орбіти зростало вдвічі швидше за магнітне поле на самій орбіті. За цих умов зі зростанням енергії частинки, яка збільшується за рахунок індукованого електричного поля, магнітне поле на орбіті зростає якраз зі швидкістю, потрібною для утримання частинки на колі.
 
Бетатрон використовується для розгону електронів до енергій у десятки або навіть сотні мільйонів електронвольт. Однак з низки причин для прискорення електронів до енергій, набагато більших за кілька сотень мільйонів електронвольт, ця машина стає невигідною. Одна з цих причин — труднощі досягнення на практиці потрібної високої величини середнього магнітного поля всередині орбіти, а друга — несправедливість формули (17.6) для дуже великих енергій, оскільки в ній не враховується втрата енергії частинкою за рахунок випромінювання електромагнітної енергії (так зване синхротронне випромінювання, див. розд. 34, вип. 3). З цих причин прискорення електронів до найбільших енергій — до багатьох мільярдів електрон-вольт — здійснюється за допомогою машини іншого роду, яка називається синхротроном.