Взаємна індукція

Тепер нам треба розглянути випадок, коли дротяні котушки нерухомі, а магнітні поля змінюються. Описуючи утворення магнітного поля струмами, ми розглядали тільки випадок постійних струмів. Але якщо струми змінюються повільно, магнітне поле в кожен момент буде приблизно таке саме, як магнітне поле постійного струму. Ми вважатимемо в цьому параграфі, що струми завжди змінюються досить повільно, і можна сказати, що це твердження справедливе.
На фіг. 17.8 показано пристрій із двох котушок, за допомогою якого можна продемонструвати основні ефекти, відповідальні за роботу трансформатора. Котушка 1 складається з провідного дроту, звитого у вигляді довгого соленоїда. Навколо цієї котушки й ізольовано від неї намотана котушка 2, що складається з кількох витків дроту. Якщо тепер по котушці 1 пропустити струм, то, як ми знаємо, усередині неї з'явиться магнітне поле. Це магнітне поле проходить також крізь котушку 2. Коли струм у котушці 1 змінюється, магнітний потік теж змінюватиметься, і в котушці 2 з'явиться індукована е.р.с. Цю індуковану е.р.с. ми зараз і обчислимо.
 
У розд. 13, §5 (вип. 5) ми бачили, що магнітне поле всередині довгого соленоїда   однорідне й  дорівнює

де N₁ — число витків у котушці 1, I₁ — струм у ній, а l — її довжина. Нехай поперечний переріз котушки 1 дорівнює S, тоді потік поля В дорівнює його величині, помноженій на S. Якщо в котушці 2 є N₂ витків, то потік проходить по котушці N₂ разів.  Тому е. р. с. у котушці 2 дається виразом

Єдина  величина,  що змінюється   з  часом,  у   (17.23) — це I₁. Тому е. р. с. дається виразом

Ми бачимо, що е. р. с. у котушці 2 пропорційна швидкості зміни струму в котушці 1. Константа пропорційності — по суті геометричний фактор двох котушок — називається коефіцієнтом взаємної індукції і позначається зазвичай m₂₁.
 
Тоді (17.25) записується вже у вигляді

Припустімо тепер, що нам треба було б пропустити струм через котушку 2 і нас цікавить, чому дорівнює е. р. с. у котушці 1. Ми обчислили б магнітне поле, яке всюди пропорційне струму I₂. Потік крізь котушку 1 залежав би від геометрії,  але  був би пропорційний струму I₂.  Тому е. р. с. у котушці 1 знову була б пропорційна dl₂/dt. Ми можемо записати

Обчислення m₁₂ було б важче, ніж ті обчислення, які ми зробили для m₂₁. Ми не будемо зараз ним займатися, тому що далі в цьому розділі ми покажемо, що m₁₂ обов'язково дорівнює m₂₁.
 
Оскільки поле будь-якої котушки пропорційне струму, що тече в ній, такий самий результат вийшов би і для будь-яких двох котушок із дроту. Вирази (17.26) і (17.27) набули б однакової форми, і тільки сталі m₁₂ і m₂₁ були б інші. Їхні значення залежатимуть від форми котушок і їхнього відносного положення.
 
Припустімо, нам треба знайти коефіцієнт взаємної індукції між двома довільними котушками, наприклад показаними на фіг. 17.9. Ми знаємо, що загальний вираз для е. р. с.  в  котушці  1  можна  записати так:

де В — магнітне поле, а інтеграл береться по поверхні, обмеженій контуром 1. У розд. 14, § 1 (вип. 5) ми бачили, що поверхневий інтеграл від В можна звести до контурного інтеграла від векторного потенціалу. У нашому випадку

де А — векторний потенціал, a ds₁ — елемент кола 1. Контурний інтеграл береться вздовж контуру 1, тому е. р. с. у цій котушці можна записати у вигляді

Тепер   припустімо, що векторний   потенціал кола  1 виникає за рахунок струмів у колі 2. Тоді його можна записати як контурний інтеграл по контуру кола 2:

де I₂ — струм у колі 2, а r₁₂ — відстань від елемента кола ds₂ до точки на контурі 1, у якій ми обчислюємо векторний потенціал (див. фіг. 17.9). Комбінуючи (17.28) і (17.29), можна виразити е. р. с. у колі 1 як подвійний контурний інтеграл:

У цьому виразі всі інтеграли беруться по нерухомих контурах. Єдиною змінною величиною є струм I₂, який не залежить від змінних інтегрування. Тому його можна винести за знак інтеграла. Тоді е. р. с. можна записати як

де коефіцієнт m₁₂  дорівнює

З цього інтеграла очевидно, що m₁₂ залежить тільки від геометрії кіл; він залежить від деякої середньої відстані між двома колами, причому в середнє з найбільшою вагою входять паралельні відрізки провідників двох котушок. Нашу формулу можна використовувати для обчислення коефіцієнта взаємної індукції будь-яких двох кіл довільної форми. Крім того, вона показує, що інтеграл для m₁₂ тотожний інтегралу для m₂₁. Таким чином, ми показали, що обидва коефіцієнти однакові. Для системи тільки з двома котушками коефіцієнти m₁₂ і m₂₁ часто позначають символом m без значків і називають просто коефіцієнтом взаємної індукції: