Індуктивність і магнітна енергія

Продовжуючи аналогію попереднього параграфа, ми відзначили в таблиці, що відповідно до механічного імпульсу p = mv (швидкість зміни якого дорівнює прикладеній силі) має існувати аналогічна величина, що дорівнює LI, швидкість зміни якої V. Зрозуміло, ми не маємо права говорити, що LI — це справжній імпульс кола; насправді це зовсім не так. Усе коло може бути нерухоме і взагалі не мати імпульсу. Просто LI аналогічне імпульсу mv у сенсі задоволення аналогічним рівнянням. Так само кінетичній енергії ¹/₂mv² тут відповідає аналогічна величина ¹/₂LI². Але тут на нас чекає сюрприз. Величина ¹/₂LI² — справді є енергією і в електричному випадку. Так виходить тому, що робота, яка виконується за одиницю часу над індуктивністю, дорівнює VI, а в механічній системі вона дорівнює Fv — відповідній величині. Тому у випадку енергії величини не тільки відповідають одна одній у математичному сенсі, а й мають ще й однакове фізичне значення.
 
Ми можемо простежити це докладніше. У (17.16) ми знайшли, що електрична робота за одиницю часу за рахунок сил індукції  є добутком е. р. с.  і струму:

Підставляючи замість Ε її вираз через струми з (17.34), маємо

Інтегруючи це рівняння, знаходимо, що енергія, яка вимагається від зовнішнього джерела, щоб подолати е. р. с. самоіндукції і створити струм  (що має дорівнювати накопиченій енергії  U), дорівнює

Тому енергія, накопичена в індуктивності, дорівнює ¹/₂LI².
 
Застосовуючи ті самі міркування до пари котушок, зображених на фіг.  17.8 або 17.9, ми можемо показати, що повна електрична   енергія   системи   дається  виразом

Справді, починаючи зі струму I=0 в обох котушках, можна спершу увімкнути струм I₁ у котушці 1, залишаючи I₂=0. Виконана робота якраз дорівнює ¹/₂L₁I₁² Але тепер, вмикаючи I₂, ми виконуємо не тільки роботу ¹/₂L₂I₂² проти е. р. с. у колі 2, а ще й додаткову кількість роботи —mI₁I₂, яка є інтегралом від е. р. с. m(dI₂/dt) у колі 1, помноженим на тепер уже сталий струм I₁ у цьому колі.
 
Нехай тепер нам треба знайти силу між будь-якими двома котушками, якими йдуть струми I₁ і I₂. Передусім ми могли б використати принцип віртуальної роботи, взявши варіацію від енергії (17.38). Ми маємо пам'ятати, звісно, що при зміні відносного положення котушок єдиною величиною, що змінюється, є коефіцієнт взаємної індукції m. Тоді ми могли б записати рівняння віртуальної роботи у вигляді

Це рівняння помилкове, тому що, як ми бачили раніше, до нього включено тільки зміну енергії двох котушок і не включено енергію джерел, які підтримують сталими значення струмів I₁ і I₂. Ми розуміємо тепер, що ці джерела мають постачати енергію для компенсації індукованих е. р. с. у котушках під час їхнього руху. Якщо ми хочемо правильно застосувати принцип віртуальної роботи, то маємо включити й ці енергії. Але ми бачили, що можна зробити й коротше — використати принцип віртуальної роботи, пам'ятаючи, що повна енергія — це взята зі зворотним знаком енергія U_мех (те, що ми називаємо «механічною енергією»). Тому силу можна записати у вигляді

Тоді сила між котушками дається виразом

Скористаємося виразом (17.38) для енергії системи з двох котушок, щоб показати, яка цікава нерівність існує між взаємною індукцією m і коефіцієнтами самоіндукції L₁ і L₂ двох котушок. Зрозуміло, що енергія двох котушок має бути додатною. Якщо ми починаємо з нульових струмів в обох котушках і збільшуємо ці струми до деяких значень, то тим самим ми збільшуємо енергію всієї системи. У протилежному разі струми самочинно зростатимуть і віддаватимуть енергію решті світу — річ неймовірна! Далі, наш вираз для енергії (17.38) можна з таким самим успіхом записати в такій формі:

Це просто алгебраїчне перетворення. Ця величина має бути завжди додатна за будь-яких значень I₁ і I₂. Зокрема, вона має бути додатна, коли I₂ раптом набуде  особливого  значення:

Але при такому значенні I₂ перший доданок у (17.40) дорівнює нулю. Якщо енергія додатна, то останній доданок у (17.40) має бути більшим за нуль. Ми отримуємо вимогу, що

Таким чином, ми довели загальне співвідношення, що величина взаємної індукції m будь-яких двох котушок обов'язково менша або дорівнює геометричному середньому двох коефіцієнтів самоіндукції (сам m може бути додатним або від'ємним залежно від вибору знаків для струмів I₁ і I₂):

Співвідношення між m і коефіцієнтами самоіндукції зазвичай  записують  у  вигляді

Сталу k називають коефіцієнтом зв'язку. Якщо більша частина потоку від однієї котушки проходить через іншу котушку, то коефіцієнт зв'язку близький до одиниці; ми говоримо, що котушки «сильно зв'язані». Якщо котушки значно віддалені одна від одної або ж усе влаштовано так, що взаємне проникнення їхніх потоків дуже мале, коефіцієнт зв'язку стає близьким до нуля, а коефіцієнт взаємної індукції дуже   малий.
 
Для обчислення взаємної індукції двох котушок ми дали формулу (17.30), яка є подвійним контурним інтегралом по обох колах. Ми могли б подумати, що та сама формула застосовна і для виведення коефіцієнта самоіндукції однієї котушки, якщо обидва контурних інтегрування проводити по одній і тій самій котушці. Однак це не так, тому що при інтегруванні по двох котушках знаменник r₁₂ під знаком інтеграла прямує до нуля, коли два елементи довжини перебувають в одній точці. Коефіцієнт самоіндукції, який отримується з цієї формули, виявляється нескінченним. Відбувається це тому, що формула наша — наближена, і справедлива вона тільки для поперечних перерізів дротів в обох колах, малих порівняно з відстанню від одного кола до іншого. Зрозуміло, що це наближення для окремої котушки не годиться. Насправді виявляється, що індуктивність окремої котушки прямує логарифмічно до нескінченності, коли діаметр її дроту стає все меншим і меншим.
 
Отже, ми маємо пошукати інший спосіб обчислення коефіцієнта самоіндукції однієї котушки. При цьому треба врахувати розподіл струмів усередині провідника, тому що його розміри — важливий параметр. Але ми не рахуватимемо повну індуктивність, а порахуємо лише ту її частину, яка пов'язана з розташуванням провідників, і не будемо   враховувати частину, пов'язану з розподілом струмів. Мабуть, найпростіший спосіб знайти таку індуктивність — це використати магнітну енергію. Раніше, в розд. 15, § 3, ми знайшли вираз для магнітної   енергії   розподілу  стаціонарних струмів:

Якщо відоме розподілення густини струму j, то можна обчислити векторний потенціал А, а потім, оцінивши інтеграл (17.44), отримати енергію. Ця енергія дорівнює магнітній енергії самоіндукції, ¹/₂LI². Прирівнюючи їх, отримуємо формулу для  індуктивності:

Ми, звісно, очікуємо, що індуктивність є числом, яке залежить тільки від геометрії кола, а не від струму I в колі. Формула (17.45) справді приводить до такого результату, тому що інтеграл у ній пропорційний квадрату струму — струм входить один раз від j і ще раз від векторного потенціалу А. Інтеграл, поділений на I², залежить від геометрії кола, але не від струму I.
 
Виразу (17.44) для енергії розподілу струмів можна надати зовсім іншу форму, іноді зручнішу для обчислень. Крім того, як ми побачимо пізніше, саме ця форма важлива, тому що вона справедлива в більш загальному випадку. У формулі (17.44) і А, і j можна зв'язати з В, тому можна сподіватися, що енергія виразиться через магнітне поле — точно так само, як нам вдалося зв'язати електростатичну енергію з електричним полем. Почнемо з підстановки ε₀c²∇ X В замість j. Замінити А ми не можемо з тією самою легкістю, тому що не можна обернути B=∇xA, щоб виразити А через В. Можна лише записати

Цікаво, що за деяких обмежень цей інтеграл можна перетворити на

Щоб побачити це, випишемо докладно типовий множник. Припустімо, що ми взяли множник (∇ХВ)_zA_z, що входить в інтеграл (17.46). Виписуючи повністю компоненти, отримуємо

(є, звісно, ще два інтеграли того самого сорту). Проінтегруємо тепер перший множник за x, інтегруючи частинами, тобто

Тепер припустімо, що наша система (маючи на увазі джерела й поля) — скінченна, так що, коли ми йдемо на великі відстані, усі поля прямують до нуля. Тоді при інтегруванні по всьому простору підстановка B_yA_z на межах інтеграла дає нуль. У нас залишається тільки B_y(∂A_z/∂x); це, очевидно, є частиною від B_y·(∇ x A)_y і, отже, від B_y·(∇ x A). Якщо ви випишете решту п'яти множників, то побачите, що (17.47) насправді еквівалентне (17.46).
 
А тепер ми  можемо   замінити  (∇xA)  на  В  і  отримати

Ми виразили енергію в магнітостатичному випадку тільки через магнітне поле. Вираз тісно пов'язаний із формулою, яку ми знайшли для електростатичної енергії:

Ці дві енергетичні формули виділені тому, що іноді ними зручніше користуватися. Зазвичай є й важливіша причина: виявляється, що для динамічних полів (коли Е і В змінюються з часом) обидва вирази (17.48) і (17.49) залишаються справедливими, тоді як інші дані нами формули для електричної і магнітної енергій перестають бути правильними — вони годяться  лише для статичних  полів.
 
Якщо нам відоме магнітне поле В однієї котушки, ми можемо знайти коефіцієнт самоіндукції, прирівнюючи вираз для енергії (17.48) і ¹/₂LI². Подивімося, що вийде в результаті для індуктивності довгого соленоїда. Раніше ми бачили, що магнітне поле в соленоїді однорідне і В зовні дорівнює нулю. Величина поля всередині дорівнює B=nI/ε₀с², де n — число витків на одиницю довжини намотування, а I — струм. Якщо радіус котушки r, а довжина її L (ми вважаємо, що L дуже велика, щоб можна було знехтувати крайовими ефектами, тобто L »r), то внутрішній об'єм дорівнює πr²L. Отже, магнітна  енергія  дорівнює

що дорівнює ¹/₂ LI². Або