У попередньому розділі ми описали безліч явищ, які показали, що ефекти індукції дуже складні й цікаві. Тепер ми хочемо обговорити основні закони, що керують цими ефектами. Ми вже визначали е. р. с. у провідному колі як повну силу, що діє на заряди, просумовану по всій довжині кола. Точніше, це тангенціальна компонента сили на одиничний заряд, проінтегрована по всьому дроту вздовж кола. Отже, ця величина дорівнює повній роботі, яка виконується над одиничним зарядом, коли він обходить один раз навколо кола.
Ми дали також «правило потоку», яке стверджує, що е. р. с. дорівнює швидкості зміни магнітного потоку крізь таке коло провідників. Погляньмо, чи можемо ми зрозуміти, чому це так. Передусім розглянемо випадок, коли потік змінюється через те, що коло рухається в постійному полі.
На фіг. 17.1 показано просту дротяну петлю, розміри якої можуть змінюватися. Петля складається з двох частин — нерухомої U-подібної частини (а) і рухомої перемички (b), яка може ковзати вздовж двох плечей U. Коло завжди замкнене, але площа його може змінюватися. Припустимо, що ми поміщаємо цю петлю в однорідне магнітне поле так, що площина U виявляється перпендикулярною полю. Згідно з правилом, при русі перемички в петлі має виникати е. р. с., пропорційна швидкості зміни потоку крізь петлю. Ця е. р. с. породжуватиме в петлі струм. Ми припустимо, що опір дроту досить великий, так що струми малі. Тоді магнітним полем від цього струму можна знехтувати.
Потік через петлю дорівнює wLB, тому «правило потоку» дало б для е. р. с. (позначимо її через Ε)
Ми дали також «правило потоку», яке стверджує, що е. р. с. дорівнює швидкості зміни магнітного потоку крізь таке коло провідників. Погляньмо, чи можемо ми зрозуміти, чому це так. Передусім розглянемо випадок, коли потік змінюється через те, що коло рухається в постійному полі.
На фіг. 17.1 показано просту дротяну петлю, розміри якої можуть змінюватися. Петля складається з двох частин — нерухомої U-подібної частини (а) і рухомої перемички (b), яка може ковзати вздовж двох плечей U. Коло завжди замкнене, але площа його може змінюватися. Припустимо, що ми поміщаємо цю петлю в однорідне магнітне поле так, що площина U виявляється перпендикулярною полю. Згідно з правилом, при русі перемички в петлі має виникати е. р. с., пропорційна швидкості зміни потоку крізь петлю. Ця е. р. с. породжуватиме в петлі струм. Ми припустимо, що опір дроту досить великий, так що струми малі. Тоді магнітним полем від цього струму можна знехтувати.Потік через петлю дорівнює wLB, тому «правило потоку» дало б для е. р. с. (позначимо її через Ε)
Зображення
де v — швидкість зміщення перемички.
Нам варто було б зрозуміти цей результат і з іншої точки зору, відштовхуючись від магнітної сили v X В, що діє на заряди в перекладині, яка рухається. Ці заряди відчуватимуть силу, дотичну до дроту і рівну vB для одиничного заряду. Вона стала вздовж довжини w перемички і дорівнює нулю в решті місць, тому інтеграл дорівнює
Нам варто було б зрозуміти цей результат і з іншої точки зору, відштовхуючись від магнітної сили v X В, що діє на заряди в перекладині, яка рухається. Ці заряди відчуватимуть силу, дотичну до дроту і рівну vB для одиничного заряду. Вона стала вздовж довжини w перемички і дорівнює нулю в решті місць, тому інтеграл дорівнює
Зображення
що точно збігається з результатом, отриманим зі швидкості зміни потоку.
Наведений доказ можна поширити на будь-який випадок, коли магнітне поле постійне, а дроти рухаються. Можна в загальному вигляді довести, що для будь-якого кола, частини якого рухаються в постійному магнітному полі, е. р. с. дорівнює похідній потоку за часом незалежно від форми кола.
Ну а що станеться, якщо петля буде нерухома, а магнітне поле зміниться? На це запитання ми не можемо відповісти за допомогою тих самих аргументів. Фарадей відкрив (поставивши дослід), що «правило потоку» залишається справедливим незалежно від того, чому змінюється потік.
Сила, що діє на електричні заряди, у загальному випадку дається формулою F = q (E +v X В); нових особливих «сил за рахунок зміни магнітного поля» не існує. Будь-які сили, що діють на нерухомі заряди в нерухомому дроті, виникають за рахунок Е. Спостереження Фарадея привели до відкриття нового закону про зв'язок електричного й магнітного полів: в області, де магнітне поле змінюється з часом, генеруються електричні поля. Саме це електричне поле й жене електрони по дроту, і, таким чином, воно й відповідальне за появу е. р. с. у нерухомому колі, коли магнітний потік змінюється.
Загальний закон для електричного поля, пов'язаного зі змінюваним магнітним полем, такий:
Наведений доказ можна поширити на будь-який випадок, коли магнітне поле постійне, а дроти рухаються. Можна в загальному вигляді довести, що для будь-якого кола, частини якого рухаються в постійному магнітному полі, е. р. с. дорівнює похідній потоку за часом незалежно від форми кола.
Ну а що станеться, якщо петля буде нерухома, а магнітне поле зміниться? На це запитання ми не можемо відповісти за допомогою тих самих аргументів. Фарадей відкрив (поставивши дослід), що «правило потоку» залишається справедливим незалежно від того, чому змінюється потік.
Сила, що діє на електричні заряди, у загальному випадку дається формулою F = q (E +v X В); нових особливих «сил за рахунок зміни магнітного поля» не існує. Будь-які сили, що діють на нерухомі заряди в нерухомому дроті, виникають за рахунок Е. Спостереження Фарадея привели до відкриття нового закону про зв'язок електричного й магнітного полів: в області, де магнітне поле змінюється з часом, генеруються електричні поля. Саме це електричне поле й жене електрони по дроту, і, таким чином, воно й відповідальне за появу е. р. с. у нерухомому колі, коли магнітний потік змінюється.
Загальний закон для електричного поля, пов'язаного зі змінюваним магнітним полем, такий:
Зображення
Ми назвемо його законом Фарадея. Він був відкритий Фарадеєм, але вперше в диференціальній формі записаний Максвеллом як одне з його рівнянь. Погляньмо, як із цього рівняння виходить «правило потоку» для кіл. Використовуючи теорему Стокса, цей закон можна записати в інтегральній формі
Зображення
де, як завжди, Г — довільна замкнена крива, а S — будь-яка поверхня, обмежена цією кривою. Пригадаймо, що тут Г — це математична крива, зафіксована в просторі, а S — фіксована поверхня. Тоді похідну за часом можна винести за знак інтеграла:
Зображення
Застосовуючи це співвідношення до кривої Г, яка йде вздовж нерухомого кола провідників, ми знову отримуємо «правило потоку». Інтеграл ліворуч — це е. р. с., а в правій частині зі зворотним знаком стоїть швидкість зміни потоку, що проходить усередині контуру. Отже, співвідношення (17.1), застосоване до нерухомого контуру, еквівалентне «правилу потоку».
Таким чином, «правило потоку», згідно з яким е. р. с. у контурі дорівнює взятій зі зворотним знаком швидкості, з якою змінюється магнітний потік через контур, застосовне, коли потік змінюється за рахунок зміни поля або коли рухається контур (або коли відбувається і те, і інше). Дві можливості — «контур рухається» або «поле змінюється» — нерозрізнювані у формулюванні правила. Тим не менше для пояснення правила в цих двох випадках ми користувалися двома зовсім різними законами: v X В для «рухомого контуру» і V X Е = –∂B/∂t для «поля, що змінюється».
Ми не знаємо у фізиці жодного іншого такого прикладу, коли б простий і точний загальний закон вимагав для свого справжнього розуміння аналізу в термінах двох різних явищ. Зазвичай таке гарне узагальнення виявляється таким, що виходить із єдиного глибокого основоположного принципу. Але в цьому випадку жодного особливо глибокого принципу не видно. Ми маємо сприймати «правило» як спільний ефект двох зовсім різних явищ.
На «правило потоку» ми маємо подивитися так. Взагалі кажучи, сила на одиничний заряд дорівнює F/q = Е + v X В. У рухомих провідниках сила виникає за рахунок v. Крім того, виникає поле Е, якщо десь змінюється магнітне поле. Ці ефекти незалежні, але е. р. с. навколо дротяної петлі завжди дорівнює швидкості зміни магнітного потоку крізь петлю.
Таким чином, «правило потоку», згідно з яким е. р. с. у контурі дорівнює взятій зі зворотним знаком швидкості, з якою змінюється магнітний потік через контур, застосовне, коли потік змінюється за рахунок зміни поля або коли рухається контур (або коли відбувається і те, і інше). Дві можливості — «контур рухається» або «поле змінюється» — нерозрізнювані у формулюванні правила. Тим не менше для пояснення правила в цих двох випадках ми користувалися двома зовсім різними законами: v X В для «рухомого контуру» і V X Е = –∂B/∂t для «поля, що змінюється».
Ми не знаємо у фізиці жодного іншого такого прикладу, коли б простий і точний загальний закон вимагав для свого справжнього розуміння аналізу в термінах двох різних явищ. Зазвичай таке гарне узагальнення виявляється таким, що виходить із єдиного глибокого основоположного принципу. Але в цьому випадку жодного особливо глибокого принципу не видно. Ми маємо сприймати «правило» як спільний ефект двох зовсім різних явищ.
На «правило потоку» ми маємо подивитися так. Взагалі кажучи, сила на одиничний заряд дорівнює F/q = Е + v X В. У рухомих провідниках сила виникає за рахунок v. Крім того, виникає поле Е, якщо десь змінюється магнітне поле. Ці ефекти незалежні, але е. р. с. навколо дротяної петлі завжди дорівнює швидкості зміни магнітного потоку крізь петлю.