А тепер про нові наслідки. Вони виникають із зіставлення всіх рівнянь Максвелла. Спочатку погляньмо, що сталося б в особливо простому випадку. Припустімо, що змінюється тільки одна координата в усіх величин, тобто розглянемо задачу одного виміру.
Цей випадок показано на фіг. 18.3. Перед нами заряджений лист, розміщений на площині yz. Спочатку він нерухомий, а потім миттєво набуває швидкості u у напрямку y і рухається з цією сталою швидкістю. Вас може непокоїти присутність такого «нескінченного» прискорення, але фактично це не має значення; просто уявіть собі, що швидкість досягає значення u дуже швидко. Отже, ми раптово отримуємо поверхневий струм J (J — струм на одиницю ширини в z-напрямку). Щоб спростити проблему, припустімо, що є ще нерухомий лист, заряджений протилежно і накладений на площину yz, так що електростатичні ефекти відсутні. Уявімо собі також (хоча на фігурі ми показали лише те, що відбувається в скінченній області), що лист простягається до нескінченності в напрямках ±y і ±z. Іншими словами, тут ми маємо випадок, коли струму немає, а потім раптово з'являється однорідний лист зі струмом. Що ж відбудеться?
Ми знаємо, що коли є лист зі струмом у додатному y-напрямку, виникне магнітне поле, спрямоване в від'ємному z-напрямку при x >0 і в додатному z-напрямку при x < 0. Ми могли б знайти величину В, використовуючи той факт, що контурний інтеграл від магнітного поля дорівнюватиме струму, поділеному на ε0с2. Ми отримали б, що B = J/2ε0с2 (оскільки струм I у смузі шириною w дорівнює Jw, а контурний інтеграл від В є 2Bw).
Так ми визначаємо поле поблизу листа для малих значень x, але, оскільки ми вважаємо лист нескінченним, хотілося б отримати за допомогою тих самих міркувань магнітне поле подалі (для великих значень x). Однак це означало б, що в момент, коли ми вмикаємо струм, магнітне поле раптово змінюється всюди від нуля до скінченної величини. Але зачекайте! При раптовій зміні магнітного поля виникають величезні електричні ефекти. (Як би воно не змінювалося, електричні ефекти виникнуть.) Тож у результаті руху зарядженого листа створюється змінне магнітне поле і, отже, мають виникнути електричні ефекти. Якщо електричні поля утворилися, вони мають починатися з нуля і змінюватися до якогось значення. Виникне якась похідна ∂E/∂t, яка робитиме внесок разом зі струмом I у створення магнітного поля. Так різні рівняння зачіпляються одне за одне, і ми маємо спробувати знайти розв'язки для всіх полів одразу.
Розглядаючи рівняння Максвелла окремо, нелегко одразу отримати розв'язок. Тому спочатку ми повідомимо вам відповідь, а потім уже перевіримо, чи справді вона задовольняє рівнянням. Відповідь: Поле В, яке ми обчислили, насправді створюється прямо поблизу листа зі струмом (для малих x). Так і має бути, тому що якщо ми проведемо крихітну петлю навколо листа, то в ній не буде місця для проходження електричного потоку. Але поле В подалі (для великих x) спочатку дорівнює нулю. Воно протягом деякого часу залишається нульовим, а потім раптово вмикається. Коротше кажучи, ми вмикаємо струм, і негайно поблизу нього вмикається магнітне поле зі сталим значенням В; потім увімкнене поле В поширюється від області джерела. Через деякий час з'являється однорідне магнітне поле всюди, аж до якогось значення x, а за ним воно дорівнює нулю. Внаслідок симетрії воно поширюється як у додатному, так і у від'ємному x-напрямку.
Поле Е робить те саме. До моменту t=0 (коли ми вмикаємо струм) поле всюди дорівнює нулю. Потім, через час t, як Е, так і В сталі аж до відстані x = vt, а за нею дорівнюють нулю. Поля просуваються вперед, подібно до припливної хвилі, причому їхній фронт рухається зі сталою швидкістю, яка виявляється рівною c, але поки що ми будемо називати її v. Зображення залежності величини Е або В від x (якими вони здаються в момент t) показано на фіг. 18.4, а. Якщо знову подивитися на фіг. 18.3 в момент t, то ми побачимо, що область між x = ± vt «зайнята» полями, але вони ще не досягли області за нею. Ми знову підкреслюємо — ми припускаємо, що лист заряджений, а отже, поля Е і В простягаються нескінченно далеко в y- і z-напрямках. (Ми не можемо зобразити нескінченний лист, тому ми показуємо лише те, що відбувається у скінченній області.)
Тепер ми хочемо проаналізувати кількісно те, що відбувається. Щоб зробити це, розглянемо два поперечні перерізи: вигляд зверху, якщо дивитися вниз уздовж осі y (фіг. 18.5)
і вигляд збоку, якщо дивитися назад уздовж осі z (фіг. 18.6). Почнемо з вигляду збоку. Ми бачимо заряджений лист, що рухається вгору; магнітне поле спрямоване всередину сторінки для +x і від сторінки для –x, а електричне поле спрямоване вниз усюди, аж до x = ± vt.
Подивимося, чи узгоджуються такі поля з рівняннями Максвелла. Спочатку намалюємо одну з тих петель, якими ми користувалися для обчислення контурного інтеграла, скажімо прямокутник Г2 на фіг. 18.6. Зауважте, що одна сторона прямокутника проходить в області, де є поля, а інша — в області, до якої поля ще не дійшли. Крізь цю петлю проходить якийсь магнітний потік. Якщо він змінюється, має з'явитися е. р. с. уздовж петлі. Якщо хвильовий фронт рухається, ми матимемо змінний магнітний потік, оскільки поверхня, всередині якої існує поле В, безперервно збільшується зі швидкістю v. Потік усередині Г2 дорівнює добутку В на ту частину поверхні всередині Г2, де є магнітне поле. Швидкість зміни потоку (оскільки величина В стала) дорівнює величині поля, помноженій на швидкість зміни поверхні. Швидкість зміни поверхні знайти легко. Якщо ширина прямокутника Г2 дорівнює L, то поверхня, в якій В існує, змінюється як LvΔt за відрізок часу Δt (див. фіг. 18.6). Швидкість зміни потоку тоді дорівнює BLv. За законом Фарадея вона має дорівнювати контурному інтегралу від Е навколо Г2, який є просто EL. Отримуємо рівність
Цей випадок показано на фіг. 18.3. Перед нами заряджений лист, розміщений на площині yz. Спочатку він нерухомий, а потім миттєво набуває швидкості u у напрямку y і рухається з цією сталою швидкістю. Вас може непокоїти присутність такого «нескінченного» прискорення, але фактично це не має значення; просто уявіть собі, що швидкість досягає значення u дуже швидко. Отже, ми раптово отримуємо поверхневий струм J (J — струм на одиницю ширини в z-напрямку). Щоб спростити проблему, припустімо, що є ще нерухомий лист, заряджений протилежно і накладений на площину yz, так що електростатичні ефекти відсутні. Уявімо собі також (хоча на фігурі ми показали лише те, що відбувається в скінченній області), що лист простягається до нескінченності в напрямках ±y і ±z. Іншими словами, тут ми маємо випадок, коли струму немає, а потім раптово з'являється однорідний лист зі струмом. Що ж відбудеться?Ми знаємо, що коли є лист зі струмом у додатному y-напрямку, виникне магнітне поле, спрямоване в від'ємному z-напрямку при x >0 і в додатному z-напрямку при x < 0. Ми могли б знайти величину В, використовуючи той факт, що контурний інтеграл від магнітного поля дорівнюватиме струму, поділеному на ε0с2. Ми отримали б, що B = J/2ε0с2 (оскільки струм I у смузі шириною w дорівнює Jw, а контурний інтеграл від В є 2Bw).
Так ми визначаємо поле поблизу листа для малих значень x, але, оскільки ми вважаємо лист нескінченним, хотілося б отримати за допомогою тих самих міркувань магнітне поле подалі (для великих значень x). Однак це означало б, що в момент, коли ми вмикаємо струм, магнітне поле раптово змінюється всюди від нуля до скінченної величини. Але зачекайте! При раптовій зміні магнітного поля виникають величезні електричні ефекти. (Як би воно не змінювалося, електричні ефекти виникнуть.) Тож у результаті руху зарядженого листа створюється змінне магнітне поле і, отже, мають виникнути електричні ефекти. Якщо електричні поля утворилися, вони мають починатися з нуля і змінюватися до якогось значення. Виникне якась похідна ∂E/∂t, яка робитиме внесок разом зі струмом I у створення магнітного поля. Так різні рівняння зачіпляються одне за одне, і ми маємо спробувати знайти розв'язки для всіх полів одразу.
Розглядаючи рівняння Максвелла окремо, нелегко одразу отримати розв'язок. Тому спочатку ми повідомимо вам відповідь, а потім уже перевіримо, чи справді вона задовольняє рівнянням. Відповідь: Поле В, яке ми обчислили, насправді створюється прямо поблизу листа зі струмом (для малих x). Так і має бути, тому що якщо ми проведемо крихітну петлю навколо листа, то в ній не буде місця для проходження електричного потоку. Але поле В подалі (для великих x) спочатку дорівнює нулю. Воно протягом деякого часу залишається нульовим, а потім раптово вмикається. Коротше кажучи, ми вмикаємо струм, і негайно поблизу нього вмикається магнітне поле зі сталим значенням В; потім увімкнене поле В поширюється від області джерела. Через деякий час з'являється однорідне магнітне поле всюди, аж до якогось значення x, а за ним воно дорівнює нулю. Внаслідок симетрії воно поширюється як у додатному, так і у від'ємному x-напрямку.
Поле Е робить те саме. До моменту t=0 (коли ми вмикаємо струм) поле всюди дорівнює нулю. Потім, через час t, як Е, так і В сталі аж до відстані x = vt, а за нею дорівнюють нулю. Поля просуваються вперед, подібно до припливної хвилі, причому їхній фронт рухається зі сталою швидкістю, яка виявляється рівною c, але поки що ми будемо називати її v. Зображення залежності величини Е або В від x (якими вони здаються в момент t) показано на фіг. 18.4, а. Якщо знову подивитися на фіг. 18.3 в момент t, то ми побачимо, що область між x = ± vt «зайнята» полями, але вони ще не досягли області за нею. Ми знову підкреслюємо — ми припускаємо, що лист заряджений, а отже, поля Е і В простягаються нескінченно далеко в y- і z-напрямках. (Ми не можемо зобразити нескінченний лист, тому ми показуємо лише те, що відбувається у скінченній області.)Тепер ми хочемо проаналізувати кількісно те, що відбувається. Щоб зробити це, розглянемо два поперечні перерізи: вигляд зверху, якщо дивитися вниз уздовж осі y (фіг. 18.5) і вигляд збоку, якщо дивитися назад уздовж осі z (фіг. 18.6). Почнемо з вигляду збоку. Ми бачимо заряджений лист, що рухається вгору; магнітне поле спрямоване всередину сторінки для +x і від сторінки для –x, а електричне поле спрямоване вниз усюди, аж до x = ± vt.Подивимося, чи узгоджуються такі поля з рівняннями Максвелла. Спочатку намалюємо одну з тих петель, якими ми користувалися для обчислення контурного інтеграла, скажімо прямокутник Г2 на фіг. 18.6. Зауважте, що одна сторона прямокутника проходить в області, де є поля, а інша — в області, до якої поля ще не дійшли. Крізь цю петлю проходить якийсь магнітний потік. Якщо він змінюється, має з'явитися е. р. с. уздовж петлі. Якщо хвильовий фронт рухається, ми матимемо змінний магнітний потік, оскільки поверхня, всередині якої існує поле В, безперервно збільшується зі швидкістю v. Потік усередині Г2 дорівнює добутку В на ту частину поверхні всередині Г2, де є магнітне поле. Швидкість зміни потоку (оскільки величина В стала) дорівнює величині поля, помноженій на швидкість зміни поверхні. Швидкість зміни поверхні знайти легко. Якщо ширина прямокутника Г2 дорівнює L, то поверхня, в якій В існує, змінюється як LvΔt за відрізок часу Δt (див. фіг. 18.6). Швидкість зміни потоку тоді дорівнює BLv. За законом Фарадея вона має дорівнювати контурному інтегралу від Е навколо Г2, який є просто EL. Отримуємо рівність
Зображення
Таким чином, якщо відношення E до B дорівнює v, то поля, які ми розглядаємо, задовольнятимуть рівнянню Фарадея.
Але це не єдине рівняння; у нас є ще одне, що пов'язує Е і В:
Але це не єдине рівняння; у нас є ще одне, що пов'язує Е і В:
Зображення
Щоб застосувати це рівняння, погляньмо на вигляд зверху, зображений на фіг. 18.5. Ми вже бачили, що це рівняння дає нам значення B поблизу зарядженого листа. Крім того, для будь-якої петлі, намальованої поза листом, але позаду хвильового фронту, немає ні ротора В, ні j, ні змінного поля Е, так що рівняння там справедливе. А тепер погляньмо, що відбувається в петлі Г1 яка перетинає хвильовий фронт, як показано на фіг. 18.5. Тут немає струмів, тому рівняння (18.11) можна записати в інтегральній формі так!
Зображення
Контурний інтеграл від В є просто добутком B на L. Швидкість зміни потоку Е виникає тільки завдяки хвильовому фронту, що просувається. Область усередині Г1, де Е не дорівнює нулю, збільшується зі швидкістю vL. Права сторона (18.12) тоді дорівнює vLE. Це рівняння набуває вигляду
Зображення
Маємо розв'язок, коли поля В і Е сталі за фронтом, причому обидва спрямовані під прямими кутами до напрямку, в якому рухається фронт, і під прямими кутами один до одного. Рівняння Максвелла визначають відношення E до B. Із (18.10) і (18.13) отримуємо
Зображення
Але хвилинку! Ми знайшли два різних вирази для відношення E/B. Чи може таке поле, яке ми описуємо, справді існувати? Є лише одна швидкість v, для якої обидва рівняння можуть бути справедливі, а саме v = c. Хвильовий фронт має пересуватися зі швидкістю c. Ось приклад, коли електричне збурення від струму поширюється з певною скінченною швидкістю c.
А тепер запитаємо, що станеться, якщо ми раптово зупинимо заряджений лист, після того як він рухався протягом короткого часу T? Побачити, що станеться, можна за допомогою принципу суперпозиції. У нас був струм, що дорівнював нулю, а потім його раптово вмикали. Ми знаємо розв'язок для цього випадку. Тепер ми збираємося додати інший ряд полів. Ми беремо інший заряджений лист і раптово починаємо рухати його в протилежному напрямку з тією самою швидкістю, тільки через час T після початку руху першого листа. Повний струм від двох листів разом спочатку дорівнює нулю, потім він вмикається протягом часу T, потім вимикається знову, тому що обидва струми погашаються. Так ми отримуємо прямокутний «імпульс» струму.
Новий від'ємний струм створює такі самі поля, як і додатний, але з протилежними знаками і, звісно, із запізненням у часі T. Хвильовий фронт як і раніше рухається зі швидкістю с. У момент часу t він досягає відстані x = ± с (t — T) (див. фіг. 18.4, б). Отже, ми маємо два «шматки» поля, що переміщуються зі швидкістю с (див. фіг. 18.4, а і б). З'єднані поля будуть такими, як показано на фіг. 18.4, в. Для x >ct поля дорівнюють нулю, між x = с (t — T) і x = ct вони сталі (зі значеннями, які ми знайшли вище), і для x < с (t — T) вони знову дорівнюють нулю.
Коротше кажучи, ми отримуємо маленький шматочок поля товщиною сТ, який покинув заряджений лист і пересувається крізь весь простір сам по собі. Поля «відірвалися»; вони поширюються вільно в просторі і більше не пов'язані якимось чином із джерелом. Лялечка перетворилася на метелика!
Як же ці сукупності електричного й магнітного полів можуть зберігати самі себе? Відповідь: За рахунок поєднання ефектів із закону Фарадея ∇ x E= –∂B/∂t і нового члена, доданого Максвеллом c2∇ x B = ∂E/∂t. Вони не можуть не зберігати себе. Припустімо, що магнітне поле зникло б. Тоді з'явилося б змінне магнітне поле, яке створювало б електричне поле. Якби це електричне поле спробувало зникнути, то змінне електричне поле знову створило б магнітне поле. Отже, за рахунок безперервної взаємодії — перекачування туди й назад від одного поля до іншого — вони мають зберігатися вічно. Вони не можуть зникнути. Вони зберігаються, залучені до спільного танцю — одне поле створює інше, а друге створює перше,— поширюючись усе далі й далі в просторі.
А тепер запитаємо, що станеться, якщо ми раптово зупинимо заряджений лист, після того як він рухався протягом короткого часу T? Побачити, що станеться, можна за допомогою принципу суперпозиції. У нас був струм, що дорівнював нулю, а потім його раптово вмикали. Ми знаємо розв'язок для цього випадку. Тепер ми збираємося додати інший ряд полів. Ми беремо інший заряджений лист і раптово починаємо рухати його в протилежному напрямку з тією самою швидкістю, тільки через час T після початку руху першого листа. Повний струм від двох листів разом спочатку дорівнює нулю, потім він вмикається протягом часу T, потім вимикається знову, тому що обидва струми погашаються. Так ми отримуємо прямокутний «імпульс» струму.
Новий від'ємний струм створює такі самі поля, як і додатний, але з протилежними знаками і, звісно, із запізненням у часі T. Хвильовий фронт як і раніше рухається зі швидкістю с. У момент часу t він досягає відстані x = ± с (t — T) (див. фіг. 18.4, б). Отже, ми маємо два «шматки» поля, що переміщуються зі швидкістю с (див. фіг. 18.4, а і б). З'єднані поля будуть такими, як показано на фіг. 18.4, в. Для x >ct поля дорівнюють нулю, між x = с (t — T) і x = ct вони сталі (зі значеннями, які ми знайшли вище), і для x < с (t — T) вони знову дорівнюють нулю.
Коротше кажучи, ми отримуємо маленький шматочок поля товщиною сТ, який покинув заряджений лист і пересувається крізь весь простір сам по собі. Поля «відірвалися»; вони поширюються вільно в просторі і більше не пов'язані якимось чином із джерелом. Лялечка перетворилася на метелика!
Як же ці сукупності електричного й магнітного полів можуть зберігати самі себе? Відповідь: За рахунок поєднання ефектів із закону Фарадея ∇ x E= –∂B/∂t і нового члена, доданого Максвеллом c2∇ x B = ∂E/∂t. Вони не можуть не зберігати себе. Припустімо, що магнітне поле зникло б. Тоді з'явилося б змінне магнітне поле, яке створювало б електричне поле. Якби це електричне поле спробувало зникнути, то змінне електричне поле знову створило б магнітне поле. Отже, за рахунок безперервної взаємодії — перекачування туди й назад від одного поля до іншого — вони мають зберігатися вічно. Вони не можуть зникнути. Вони зберігаються, залучені до спільного танцю — одне поле створює інше, а друге створює перше,— поширюючись усе далі й далі в просторі.