Ми бачили, що на дріт у магнітному полі, яке створює, скажімо, магніт, діє сила. Із закону про те, що дія дорівнює протидії, можна очікувати, що, коли по дроту протікає струм, виникає сила, яка діє на джерело магнітного поля, тобто на магніт. Такі сили справді існують; у цьому можна переконатися за відхиленням стрілки компаса поблизу дроту зі струмом. Далі, ми знаємо, що магніти зазнають дії сил з боку інших магнітів, а звідси випливає, що коли по дроту тече струм, то він створює власне магнітне поле. Отже, рухомі заряди створюють магнітне поле. Спробуємо зрозуміти закони, яким підкоряються такі магнітні поля. Питання ставиться так: даний струм, яке магнітне поле він створить? Відповідь на це питання була отримана експериментально трьома дослідами і підтверджена блискучим теоретичним доведенням Ампера. Ми не будемо зупинятися на цій цікавій історії, а просто скажемо, що велика кількість експериментів наочно показала справедливість рівнянь Максвелла. Їх ми й візьмемо як вихідну точку. Опускаючи в рівняннях члени з похідними за часом, ми дістаємо рівняння магнітостатики
Зображення
Ці рівняння справедливі тільки за умови, що всі густини електричних зарядів і всі струми постійні, так що електричні й магнітні поля не змінюються з часом — усі поля «статичні».
Тут можна зауважити, що вірити в існування статичного магнітного поля доволі небезпечно, тому що взагалі-то для отримання магнітного поля потрібні струми, а струми виникають тільки від рухомих зарядів. Отже, «магнітостатика» — лише наближення. Вона пов'язана з особливим випадком динаміки, коли рухається велике число зарядів, які можна наближено описувати як постійний потік зарядів. Тільки в цьому випадку можна говорити про густину струму j, яка не змінюється з часом. Точніше цю область варто було б назвати вивченням постійних струмів. Припускаючи, що всі поля постійні, ми відкидаємо члени з ∂Е/∂t і дb/∂t у повних рівняннях Максвелла [рівняння (2.41)] і дістаємо два написаних вище рівняння (13.12) і (13.13). Зауважте також, що оскільки дивергенція ротора будь-якого вектора завжди нуль, то рівняння (13.13) вимагає, щоб ∇·j= 0. Через рівняння (13.8) це вірно, тільки якщо ∂ρ/∂t=0. Але таке може бути, якщо Е не змінюється з часом, отже, наші припущення внутрішньо узгоджені.
Умова, що ∇·j= 0, означає, що в нас можуть бути тільки заряди, які течуть по замкнутих шляхах. Вони можуть, наприклад, текти по дротах, що утворюють замкнуті петлі, які називаються колами. Кола можуть, звісно, містити генератори або батареї, що підтримують струм зарядів. Але в них не повинно бути конденсаторів, які заряджаються або розряджаються. (Ми, звісно, розширимо теорію, включивши змінні поля, але спочатку ми хочемо взяти простіший випадок постійних струмів.)
Звернімося тепер до рівнянь (13.12) і (13.13) і подивімося, що вони означають. Перше говорить, що дивергенція В дорівнює нулю. Порівнюючи його з аналогічним рівнянням електростатики, за яким ∇·Е=ρ/ε0, можна зробити висновок, що магнітного аналога електричного заряду не існує. Не буває магнітних зарядів, з яких могли б виходити лінії В. Якщо говорити про «лінії» векторного поля В, то вони ніде не починаються і ніде не закінчуються. Але тоді звідки ж вони беруться? Магнітні поля «з'являються» у присутності струмів; ротор, узятий від них, пропорційний густині струму. Коли є струми, є й лінії магнітного поля, що утворюють петлі навколо струмів. Оскільки лінії В не мають ні кінця, ні початку, вони часто повертаються у вихідну точку, утворюючи замкнуті петлі. Але можуть виникнути й складніші випадки, коли лінії не являють собою простих петель. Однак хоч би як вони йшли, вони ніколи не виходять із точок. Жодних магнітних зарядів ніхто ніколи не знаходив, тому ∇·В=0. Це саме твердження справедливе не тільки для магнітостатики, а справедливе завжди — навіть для динамічних полів.
Зв'язок між полем В і струмами дається рівнянням (13.13). Становище тут зовсім інше, докорінно відмінне від електростатики, де в нас було ∇ X Е = 0. Це рівняння означало, що лінійний інтеграл від Е по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю:
Тут можна зауважити, що вірити в існування статичного магнітного поля доволі небезпечно, тому що взагалі-то для отримання магнітного поля потрібні струми, а струми виникають тільки від рухомих зарядів. Отже, «магнітостатика» — лише наближення. Вона пов'язана з особливим випадком динаміки, коли рухається велике число зарядів, які можна наближено описувати як постійний потік зарядів. Тільки в цьому випадку можна говорити про густину струму j, яка не змінюється з часом. Точніше цю область варто було б назвати вивченням постійних струмів. Припускаючи, що всі поля постійні, ми відкидаємо члени з ∂Е/∂t і дb/∂t у повних рівняннях Максвелла [рівняння (2.41)] і дістаємо два написаних вище рівняння (13.12) і (13.13). Зауважте також, що оскільки дивергенція ротора будь-якого вектора завжди нуль, то рівняння (13.13) вимагає, щоб ∇·j= 0. Через рівняння (13.8) це вірно, тільки якщо ∂ρ/∂t=0. Але таке може бути, якщо Е не змінюється з часом, отже, наші припущення внутрішньо узгоджені.
Умова, що ∇·j= 0, означає, що в нас можуть бути тільки заряди, які течуть по замкнутих шляхах. Вони можуть, наприклад, текти по дротах, що утворюють замкнуті петлі, які називаються колами. Кола можуть, звісно, містити генератори або батареї, що підтримують струм зарядів. Але в них не повинно бути конденсаторів, які заряджаються або розряджаються. (Ми, звісно, розширимо теорію, включивши змінні поля, але спочатку ми хочемо взяти простіший випадок постійних струмів.)
Звернімося тепер до рівнянь (13.12) і (13.13) і подивімося, що вони означають. Перше говорить, що дивергенція В дорівнює нулю. Порівнюючи його з аналогічним рівнянням електростатики, за яким ∇·Е=ρ/ε0, можна зробити висновок, що магнітного аналога електричного заряду не існує. Не буває магнітних зарядів, з яких могли б виходити лінії В. Якщо говорити про «лінії» векторного поля В, то вони ніде не починаються і ніде не закінчуються. Але тоді звідки ж вони беруться? Магнітні поля «з'являються» у присутності струмів; ротор, узятий від них, пропорційний густині струму. Коли є струми, є й лінії магнітного поля, що утворюють петлі навколо струмів. Оскільки лінії В не мають ні кінця, ні початку, вони часто повертаються у вихідну точку, утворюючи замкнуті петлі. Але можуть виникнути й складніші випадки, коли лінії не являють собою простих петель. Однак хоч би як вони йшли, вони ніколи не виходять із точок. Жодних магнітних зарядів ніхто ніколи не знаходив, тому ∇·В=0. Це саме твердження справедливе не тільки для магнітостатики, а справедливе завжди — навіть для динамічних полів.
Зв'язок між полем В і струмами дається рівнянням (13.13). Становище тут зовсім інше, докорінно відмінне від електростатики, де в нас було ∇ X Е = 0. Це рівняння означало, що лінійний інтеграл від Е по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю:
Зображення
Ми отримали цей результат за допомогою теореми Стокса, згідно з якою інтеграл по будь-якому замкнутому шляху від будь-якого векторного поля дорівнює поверхневому інтегралу від нормальної компоненти ротора цього вектора (інтеграл береться по будь-якій поверхні, натягнутій на даний контур). Застосовуючи цю саму теорему до вектора магнітного поля і використовуючи позначення, показані на фіг. 13.6, дістаємоЗображення
Знайшовши rot B з рівняння (13.13), маємо
Зображення
Інтеграл від j по S, згідно з (13.5), є повний струм / крізь поверхню S. Оскільки для постійних струмів струм крізь S не залежить від форми S, якщо вона обмежена кривою Г, то зазвичай говорять про «струм крізь замкнуту петлю Г». Ми маємо, таким чином, загальний закон: циркуляція В по будь-якій замкнутій кривій дорівнює струму / крізь петлю, поділеному на ε0с2:
Зображення
Цей закон, який називається законом Ампера, відіграє таку саму роль у магнітостатиці, як закон Гаусса в електростатиці. Сам лише закон Ампера не визначає В через струми; ми повинні, взагалі кажучи, використовувати також ∇·В=0. Але, як ми побачимо в наступному параграфі, він може бути використаний для знаходження поля в тих особливих випадках, які мають певну просту симетрію.