E = −∇φ

С какой стати нас заинтересовал потенциал φ? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из φ очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми y и z, но с разными x: у одной x, у другой x + Δx; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от x до x + Δx. Работа равна разности потенциалов в двух точках

работа против действия силы  на том же отрезке равна

Мы видим, что

Равным  образом, E_y= –∂φ/∂y, E_z= –∂φ/∂z;  все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:

Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля

Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал φ представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется φ? Да. Для вычисления φ нужно взять один интеграл, а для вычисления Е — три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r³. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать φ, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.
 
Но потенциал φ имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е =–grad φ, где φ дается уравнением (4.22). Но если Е— это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:

Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.
 
На самом деле то, что ∇ x Е равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е.

по любому пути. Мы видели в гл. 3, что в таком поле ∇ХЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.
 
Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора ∇ХЕ другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора ∇ХЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение ∇ХЕ в нуль для любого распределения зарядов.
 
Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r², не имело никакого значения, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.