Дипольне наближення для довільного розподілу

Не менш цікаве й не менш важливе поле диполя, що виникає за інших обставин. Нехай у нас є тіло зі складним розподілом заряду, скажімо, як у молекули води (див. фіг. 6.2), а нас цікавить лише поле далеко від нього. Ми покажемо, що можна отримати порівняно простий вираз для полів, придатний для відстаней, набагато більших, ніж розміри тіла.
Ми можемо дивитися на це тіло, як на скупчення точкових зарядів q_i у якійсь обмеженій області (фіг. 6.7). (Пізніше, якщо знадобиться, ми q_i замінимо на ρdV.) Нехай заряд q_i віддалений від початку координат, обраного десь усередині групи зарядів, на відстань d_i. Чому дорівнює потенціал у точці P, розташованій десь осторонь, на відстані R, набагато більшій, ніж найбільше з d_i? Потенціал усього нашого скупчення виражається формулою 

де r_i — відстань від P до заряду q_i (довжина вектора R–d_i). Якщо відстань від зарядів до P (до точки спостереження) надзвичайно велика, то кожне з r_i можна прийняти за R. Кожен член у сумі стане рівним q_i/R, і 1/R можна буде винести з-під знака суми. Вийде простий результат 

де Q — сумарний заряд тіла. Таким чином, ми переконалися, що з точок, достатньо віддалених від скупчення зарядів, воно здається просто точковим зарядом. Цей результат загалом не дуже дивовижний.

Але що, якщо додатних і від'ємних зарядів у групі виявиться порівну? Сумарний заряд Q тоді дорівнюватиме нулю. Це не такий уже рідкісний випадок; ми знаємо, що більшість тіл нейтральна. Нейтральна молекула води, але заряди в ній розміщуються аж ніяк не в одній точці, так що, наблизившись впритул, ми маємо помітити якісь ознаки того, що заряди розділені. Для потенціалу довільного розподілу зарядів у нейтральному тілі нам потрібне наближення, краще за те, яке дає формула (6.22). Рівняння (6.21) як і раніше годиться, але вважати r_i=R більше не можна. Для r_i потрібен точніший вираз. У хорошому наближенні r_i можна вважати таким, що відрізняється від R (якщо точка P сильно віддалена) на проєкцію вектора d на вектор R (див. фіг. 6.7, але ви повинні лише уявляти собі, що P набагато далі, ніж показано). Іншими словами, якщо е_r — одиничний вектор у напрямку R, то за наступне наближення до r_i треба прийняти       

Але нам же потрібне не r_i а 1/r_i; воно в нашому наближенні (з урахуванням d << R) дорівнює

Підставивши це в (6.21), ми побачимо, що потенціал дорівнює

Багатокрапка вказує на члени вищого порядку за d/R, якими ми знехтували. Як і ті члени, які ми виписали, це наступні члени розкладу 1/r_i у ряд Тейлора в околі 1/R за степенями d_i/R.

Перший член у (6.25) ми вже отримали; у нейтральних тілах він зникає. Другий член, як і в диполя, залежить від 1/R². Справді, якщо ми визначимо 

як величину, що описує розподіл зарядів, то другий член потенціалу (6.25) перетвориться на

тобто якраз у дипольний потенціал. Величина р називається дипольним моментом розподілу. Це узагальнення нашого попереднього визначення; воно зводиться до нього в окремому випадку точкових зарядів.

У підсумку ми з'ясували, що достатньо далеко від будь-якого набору зарядів потенціал виявляється дипольним, аби тільки цей набір був загалом нейтральним. Він спадає, як 1/R³, і змінюється, як cos θ, а його величина залежить від дипольного моменту розподілу зарядів. Саме з цієї причини поля диполів і важливі; самі ж по собі пари точкових зарядів трапляються вкрай рідко.

У молекули води, наприклад, дипольний момент доволі великий. Електричне поле, що створюється цим моментом, відповідає за деякі важливі властивості води. А в багатьох молекул, скажімо у CO₂, дипольний момент зникає завдяки їхній симетрії. Для таких молекул розклад потрібно проводити ще точніше, до наступних членів потенціалу, що спадають як 1/R³ і називаються квадрупольним потенціалом. Ці випадки ми розглянемо пізніше.