А які ще поверхні, крім площини, мають просте рішення? Найпростіша з них — сфера. Спробуємо визначити поля навколо металевої сфери з точковим зарядом q поблизу неї (фіг. 6.11). Доведеться пошукати просту фізичну задачу, для якої сфера є еквіпотенціальною поверхнею. Якщо ми переглянемо ті задачі, які вже розв'язані, то побачимо, що в поля двох нерівних точкових зарядів одна з еквіпотенціальних поверхонь якраз і є сфера. Відзначимо це собі! Якщо ми як слід підберемо положення заряду-зображення і потрібну його величину, можливо, тоді ми й зможемо підігнати еквіпотенціальну поверхню до нашої сфери. Це й справді можна зробити, якщо діяти за таким рецептом.Припустімо, що ви хочете, щоб еквіпотенціальна поверхня була сферою радіуса a з центром, віддаленим від заряду q на відстань b. Помістіть зображення заряду величини q` =–q(a/b) на радіусі, що проходить через заряд на відстані а2/b від центра. Потенціал сфери нехай буде нуль.
Математично причина полягає в тому, що сфера є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від двох даних точок стале. Як випливає з фіг. 6.11, потенціал у точці P від зарядів q і q` пропорційний сумі
Зображення
і дорівнюватиме нулю в усіх точках, для яких
Зображення
Якщо ми поміщаємо q` на відстані а2/b від центра, то відношення r2/r1 дорівнює сталій величині alb. Тоді якщо
Зображення
то сфера стане еквіпотенціальною. Потенціал її насправді дорівнюватиме нулю.
А що, якщо нам знадобиться сфера з ненульовим потенціалом? Адже він дорівнює нулю тільки тоді, коли її сумарний заряд випадково виявиться рівним q`! Звісно, якщо її заземлити, то наведені на ній заряди виявляться точно такими, як треба. Ну, а якщо вона заізольована і ми не наділили її жодним зарядом? Або наділили її зарядом Q≠q`? Або вона перебуває під напругою, не рівною нулю? Такі питання розв'язуються з ходу. Адже завжди можна додати в центр сфери точковий заряд q". За принципом накладання сфера завжди залишиться еквіпотенціальною, а зміниться тільки величина потенціалу.
Якщо в нас, скажімо, є провідна сфера, попередньо розряджена й ізольована від усього, і ми піднесли до неї додатний заряд q, то сумарний заряд сфери залишиться рівним нулю. Розв'язок можна знайти, взявши той самий, що й раніше, заряд-зображення q` і на додачу до нього заряд у центрі сфери, такий, що
А що, якщо нам знадобиться сфера з ненульовим потенціалом? Адже він дорівнює нулю тільки тоді, коли її сумарний заряд випадково виявиться рівним q`! Звісно, якщо її заземлити, то наведені на ній заряди виявляться точно такими, як треба. Ну, а якщо вона заізольована і ми не наділили її жодним зарядом? Або наділили її зарядом Q≠q`? Або вона перебуває під напругою, не рівною нулю? Такі питання розв'язуються з ходу. Адже завжди можна додати в центр сфери точковий заряд q". За принципом накладання сфера завжди залишиться еквіпотенціальною, а зміниться тільки величина потенціалу.
Якщо в нас, скажімо, є провідна сфера, попередньо розряджена й ізольована від усього, і ми піднесли до неї додатний заряд q, то сумарний заряд сфери залишиться рівним нулю. Розв'язок можна знайти, взявши той самий, що й раніше, заряд-зображення q` і на додачу до нього заряд у центрі сфери, такий, що
Зображення
Поля всюди поза сферою вийдуть накладанням полів від q, q` і q". Задача розв'язана.
Тепер зрозуміло, що між сферою і точковим зарядом q має існувати сила притягання. Вона не зникає, навіть якщо сфера нейтральна, на ній немає жодного заряду. Звідки ж береться притягання? Коли ви підносите до провідної сфери додатний заряд, то він притягує від'ємні заряди на ближній кінець сфери, додатні ж залишає на дальньому. А притягання від'ємними зарядами переважує відштовхування додатними; в підсумку залишається притягання. Його силу можна прикинути, підрахувавши силу, що діє на q у полі, створеному q` і q". Сумарна сила дорівнює силі притягання між зарядами q і q` =–(a/b)q на відстані b – (а2/b) плюс сила відштовхування q і заряду q" = + (a/b)q на відстані b.
Якщо ви в дитинстві любили розглядати журнал, на обкладинці якого був показаний хлопчик, що розглядає журнал, на обкладинці якого показаний хлопчик, що розглядає журнал, на обкладинці якого..., то вас зацікавить і наступна задача. Дві однакові сфери, одна із зарядом + Q, а інша із зарядом –Q, розташовані на деякій відстані одна від одної. Яка сила притягання між ними? Задача розв'язується за допомогою нескінченної кількості зображень. Перше наближує кожну сферу зарядом у її центрі. Ці заряди створюють свої зображення на іншій сфері. У зображень своєю чергою є свої зображення і т. д., і т. д., і т. д. Розв'язок тут — все одно що картинка на обкладинці. Сходиться він дуже швидко.
Тепер зрозуміло, що між сферою і точковим зарядом q має існувати сила притягання. Вона не зникає, навіть якщо сфера нейтральна, на ній немає жодного заряду. Звідки ж береться притягання? Коли ви підносите до провідної сфери додатний заряд, то він притягує від'ємні заряди на ближній кінець сфери, додатні ж залишає на дальньому. А притягання від'ємними зарядами переважує відштовхування додатними; в підсумку залишається притягання. Його силу можна прикинути, підрахувавши силу, що діє на q у полі, створеному q` і q". Сумарна сила дорівнює силі притягання між зарядами q і q` =–(a/b)q на відстані b – (а2/b) плюс сила відштовхування q і заряду q" = + (a/b)q на відстані b.
Якщо ви в дитинстві любили розглядати журнал, на обкладинці якого був показаний хлопчик, що розглядає журнал, на обкладинці якого показаний хлопчик, що розглядає журнал, на обкладинці якого..., то вас зацікавить і наступна задача. Дві однакові сфери, одна із зарядом + Q, а інша із зарядом –Q, розташовані на деякій відстані одна від одної. Яка сила притягання між ними? Задача розв'язується за допомогою нескінченної кількості зображень. Перше наближує кожну сферу зарядом у її центрі. Ці заряди створюють свої зображення на іншій сфері. У зображень своєю чергою є свої зображення і т. д., і т. д., і т. д. Розв'язок тут — все одно що картинка на обкладинці. Сходиться він дуже швидко.