Як найпростіше застосування цього методу використаємо плоску еквіпотенціальну поверхню B (див. фіг. 6.8). Вона допоможе нам розв'язати задачу про заряд поблизу провідної площини. Для цього просто закреслимо ліву частину фігури. Лінії поля нашого розв'язку показані на фіг. 6.10. Зауважте, що площина має нульовий потенціал, тому що вона розташована якраз на півдорозі між зарядами. Ми розв'язали задачу про додатний заряд поблизу заземленої провідної площини.
Зображення
Так ми дізналися сумарне поле, але що можна сказати про те, якими є ті реальні заряди, що створили його? Крім нашого додатного точкового заряду, ними є якісь від'ємні заряди, наведені на провідній площині й притягнуті додатним зарядом (з якихось далеких відстаней). Але тепер нехай вам захотілося дізнатися (чи то для технічних цілей, чи то просто з цікавості), як розподілені ці від'ємні заряди по поверхні. Поверхневу густину заряду ви зможете дізнатися, скориставшись результатом, отриманим у розд. 5, § 6 за допомогою теореми Гаусса. Нормальна складова електричного поля біля самого провідника дорівнює густині поверхневого заряду σ, поділеній на ε0. Ми можемо дізнатися густину заряду в кожній точці поверхні, відштовхуючись назад від нормальної складової електричного поля на поверхні. А її ми знаємо, тому що взагалі нам відоме поле в будь-якій точці.
Розглянемо точку поверхні на відстані ρ від тієї точки, яка розташована прямо навпроти додатного заряду (див. фіг. 6.10). Електричне поле в цій точці нормальне до поверхні й спрямоване всередину неї. Складова поля додатного точкового заряду, нормальна до поверхні, дорівнює
Розглянемо точку поверхні на відстані ρ від тієї точки, яка розташована прямо навпроти додатного заряду (див. фіг. 6.10). Електричне поле в цій точці нормальне до поверхні й спрямоване всередину неї. Складова поля додатного точкового заряду, нормальна до поверхні, дорівнює
Зображення
До неї ми маємо додати електричне поле, створене від'ємним дзеркальним зарядом. Це подвоїть нормальну складову (і знищить усі інші), так що густина заряду σ у довільній точці поверхні дорівнюватиме
Зображення
Проінтегрувавши σ по всій поверхні, ми зможемо перевірити наші розрахунки. Ми маємо отримати весь наведений заряд, тобто —q.
Ще одне питання: чи діє на точковий заряд сила? Так, тому що наведені на площині від'ємні заряди мають його притягувати. А раз ми знаємо, якими є ці поверхневі заряди [за формулою (6.29)], то можемо за допомогою інтегрування підрахувати силу, що діє на наш додатний заряд. Але ми ж знаємо також, що сила, яка діє на нього, точно така, якою вона була б, якби замість площини був лише один від'ємний дзеркальний заряд, тому що поля поблизу них в обох випадках однакові. Точковий заряд тим самим зазнає сили притягання до площини, що дорівнює
Ще одне питання: чи діє на точковий заряд сила? Так, тому що наведені на площині від'ємні заряди мають його притягувати. А раз ми знаємо, якими є ці поверхневі заряди [за формулою (6.29)], то можемо за допомогою інтегрування підрахувати силу, що діє на наш додатний заряд. Але ми ж знаємо також, що сила, яка діє на нього, точно така, якою вона була б, якби замість площини був лише один від'ємний дзеркальний заряд, тому що поля поблизу них в обох випадках однакові. Точковий заряд тим самим зазнає сили притягання до площини, що дорівнює
Зображення
Ми визначили цю силу дуже легко, без інтегрування по від'ємних зарядах.