Тепер звернемося до іншого роду задач, пов'язаних із провідниками. Розглянемо дві широкі металеві пластини, паралельні одна одній і розділені вузьким (порівняно з їхніми розмірами) проміжком. Припустімо, що пластини наелектризовані рівними, але протилежними зарядами. Заряди однієї пластини притягуватимуть до себе заряди іншої і потім рівномірно розподіляться на внутрішній поверхні пластин. Нехай поверхнева густина зарядів на пластинах буде +σ і –σ відповідно (фіг. 6.12). З розд. 5 ми знаємо, що поле між пластинами дорівнює σ/ε0, а поле зовні пластин дорівнює нулю. Пластини мають неоднакові потенціали φ1 і φ2. Їхній різниці V зручно дати особливу назву, її часто називають «напругою» Зображення
[дехто позначає буквою V потенціал, ми ж його позначили буквою φ].
Різниця потенціалів V — це робота (на одиницю заряду), потрібна для перенесення невеликого заряду з однієї пластини на іншу, так що
Різниця потенціалів V — це робота (на одиницю заряду), потрібна для перенесення невеликого заряду з однієї пластини на іншу, так що
Зображення
де ±Q — сумарний заряд кожної пластини, A – її площа, d — щілина між пластинами.
Ми бачимо, що напруга пропорційна заряду. Ця пропорційність між V і Q дотримується для будь-яких двох провідників у просторі, якщо на одному з них є плюс-заряд, а на іншому рівний йому мінус-заряд. Різниця потенціалів між ними, тобто напруга, виявляється пропорційною заряду. (Ми припускаємо, що навколо немає жодних інших зарядів.)
Чому виникає ця пропорційність? Просто через принцип накладання. Нехай нам відомий розв'язок для однієї сукупності зарядів, а потім ми накладемо на нього інший такий самий розв'язок. Заряди подвояться, поля подвояться, робота перенесення заряду від точки до точки теж подвоїться. З цієї причини різниця потенціалів двох точок пропорційна заряду. Зокрема, різниця потенціалів двох провідників пропорційна їхнім зарядам. Цю пропорційність колись вирішили записувати інакше. І стали писати
Ми бачимо, що напруга пропорційна заряду. Ця пропорційність між V і Q дотримується для будь-яких двох провідників у просторі, якщо на одному з них є плюс-заряд, а на іншому рівний йому мінус-заряд. Різниця потенціалів між ними, тобто напруга, виявляється пропорційною заряду. (Ми припускаємо, що навколо немає жодних інших зарядів.)
Чому виникає ця пропорційність? Просто через принцип накладання. Нехай нам відомий розв'язок для однієї сукупності зарядів, а потім ми накладемо на нього інший такий самий розв'язок. Заряди подвояться, поля подвояться, робота перенесення заряду від точки до точки теж подвоїться. З цієї причини різниця потенціалів двох точок пропорційна заряду. Зокрема, різниця потенціалів двох провідників пропорційна їхнім зарядам. Цю пропорційність колись вирішили записувати інакше. І стали писати
Зображення
де C — стале число. Цей коефіцієнт пропорційності назвали ємністю, а систему двох провідників — конденсатором. Для нашого конденсатора з паралельних пластин
Зображення
Ця формула неточна, тому що поле, всупереч нашому припущенню, насправді не всюди однорідне. Поле не закінчується відразу на ребрах пластин, а схоже радше на те, що зображено на фіг. 6.13. Сумарний заряд теж дорівнює не σA, як ми припустили; існує маленька поправка на крайовий ефект. Щоб знати, якою вона є, треба точніше розрахувати поле й подивитися, що відбувається на краях. Це дуже складна математична задача, проте її можна розв'язати за допомогою техніки, про яку ми, втім, тут говорити не будемо. Розрахунки показують, що густина зарядів біля краю пластин трохи зростає. Це означає, що ємність пластин трохи вища, ніж ми думали. [Гарне наближення для ємності можна отримати, якщо в рівнянні (6.34) прийняти за A площу, яку мали б пластини, якби їх розширили на 3/8 відстані між ними.]Ми говорили поки що лише про ємність двох провідників. Іноді люди говорять про ємність предмета самого по собі. Так, кажуть, що ємність сфери радіусом a є 4πε0а. При цьому мається на увазі, що другим полюсом є сфера нескінченного радіуса, тобто що якщо на сфері поміщений заряд + Q, то протилежним зарядом —Q володіє нескінченно велика сфера. Можна говорити також про ємності і тоді, коли провідників три або більше трьох, але обговорення цього питання ми відкладемо до кращих часів.
Нехай нам необхідно мати конденсатор дуже великої ємності. Велику ємність можна отримати, взявши дуже велику площу і дуже малий проміжок. Можна прокласти алюмінієві стрічки вощеним папером і змотати їх у трубку. (Помістивши її в пластмасову упаковку, ми отримаємо типовий радіоконденсатор.) Навіщо вони потрібні? Вони придатні для того, щоб накопичувати заряд. Якби ми захотіли, наприклад, зібрати заряд на якійсь кулі, то її потенціал швидко підскочив би, а незабаром так піднявся б, що заряди почали б стікати в повітря, і з кулі посипалися б іскри. Але якщо той самий заряд помістити всередину конденсатора великої ємності, то напруга біля конденсатора буде дуже малою.
У багатьох електронних схемах корисно мати пристрій, здатний поглинати або виділяти великі кількості зарядів, помітно не змінюючи потенціал. Ось конденсатор (або «ємність») — якраз такий пристрій. Він має безліч застосувань і в електронних приладах, і в лічильних машинах. Там він використовується для отримання певної зміни в напрузі у відповідь на ту чи іншу зміну заряду. З подібним застосуванням ми вже познайомилися у вип. 2, розд. 23, коли описували властивості резонансних контурів.
З визначення C ми отримуємо, що одиниця ємності є кулон/вольт. Цю одиницю називають також фарадою (ф). А вдивившись у рівняння (6.34), ми бачимо, що ε0 можна виразити у фарадах/метр (ф/м); ця одиниця зазвичай і застосовується.
Зображення
Типові ємності конденсаторів лежать в інтервалі від 1 мікромікрофаради (мкмкф) [або, що те саме, 1 пікофаради (1 пф)] до мілліфарад. Невеликі конденсатори на кілька пікофарад використовуються у високочастотних контурах налаштування, а ємності порядку сотень або тисяч мікрофарад ми знаходимо в силових фільтрах. Пара обкладок площею 1 см2 з проміжком 1 мм має ємність приблизно 1 пф.