Спершу візьмемо два точкові заряди +q і –q, розділені проміжком d. Проведемо вісь z через заряди, а початок координат розмістимо посередині між ними (фіг. 6.1). Тоді за формулою (4.24) потенціал системи двох зарядів дається виразомЗображення
Ми не збираємося виписувати формулу для електричного поля, але завжди за бажання можемо це зробити, раз ми знаємо потенціал. Отже, задача двох зарядів розв'язана.
Існує важливий окремий випадок цієї задачі, коли заряди розташовані близько один до одного, іншими словами, коли нас цікавить поле на таких відстанях від зарядів, що порівняно з ними проміжок між зарядами здається незначним. Таку тісну пару зарядів називають диполем. Диполі трапляються дуже часто.
«Дипольну» антену часто можна наближено розглядати як два заряди, розділені невеликою відстанню (якщо нас не цікавить поле біля самої антени). (Зазвичай інтерес становлять антени з рухомими зарядами; рівняння статики тоді незастосовні, але для деяких цілей вони все ж є цілком стерпним наближенням.)
Важливіші, мабуть, диполі атомні. Якщо в якійсь речовині є електричне поле, то електрони й протони зазнають впливу протилежних сил і зміщуються одне відносно одного. Пригадайте, що в провіднику деякі електрони зсуваються до поверхні, так що внутрішнє поле перетворюється на нуль. В ізоляторі електрони не можуть сильно розійтися; їм заважає притягання ядра. І все ж вони якось зміщуються. Тож хоча атом (або молекула) і лишається нейтральним, у зовнішньому електричному полі все ж виникає ледь помітне розділення додатних і від'ємних зарядів, і атом стає мікроскопічним диполем. Якщо нам треба знати поле цих атомних диполів поблизу предмета звичайних розмірів, то ми маємо справу з відстанями, великими порівняно з проміжками між зарядами.
У деяких молекулах через саму їхню форму заряди дещо розділені навіть за відсутності зовнішніх полів. У молекулі води, наприклад, є від'ємний заряд на атомі кисню і додатний заряд на обох атомах водню, які розташовані несиметрично (фіг. 6.2). Хоча заряд усієї молекули дорівнює нулю, все ж є розподіл заряду з невеликою перевагою від'ємного заряду на одному боці й додатного на іншому. Це розташування, звісно, не таке просте, як у двох точкових зарядів, але якщо дивитися на нього здалеку, воно діє як диполь. Як ми побачимо трохи пізніше, поле на великих відстанях нечутливе до дрібних деталей розташування.
Погляньмо тепер на поле двох зарядів протилежних знаків, відстань d між якими мала. Якщо d стане нулем, два заряди зійдуться в одному місці, два потенціали скоротяться, поле зникне. Але якщо вони не зовсім злилися, то можна отримати добре наближення до потенціалу, розклавши доданки в (6.8) у ряд за степенями малої величини d (за формулою бінома Ньютона). Залишаючи тільки перші степені d, ми напишемо
Існує важливий окремий випадок цієї задачі, коли заряди розташовані близько один до одного, іншими словами, коли нас цікавить поле на таких відстанях від зарядів, що порівняно з ними проміжок між зарядами здається незначним. Таку тісну пару зарядів називають диполем. Диполі трапляються дуже часто.
«Дипольну» антену часто можна наближено розглядати як два заряди, розділені невеликою відстанню (якщо нас не цікавить поле біля самої антени). (Зазвичай інтерес становлять антени з рухомими зарядами; рівняння статики тоді незастосовні, але для деяких цілей вони все ж є цілком стерпним наближенням.)
Важливіші, мабуть, диполі атомні. Якщо в якійсь речовині є електричне поле, то електрони й протони зазнають впливу протилежних сил і зміщуються одне відносно одного. Пригадайте, що в провіднику деякі електрони зсуваються до поверхні, так що внутрішнє поле перетворюється на нуль. В ізоляторі електрони не можуть сильно розійтися; їм заважає притягання ядра. І все ж вони якось зміщуються. Тож хоча атом (або молекула) і лишається нейтральним, у зовнішньому електричному полі все ж виникає ледь помітне розділення додатних і від'ємних зарядів, і атом стає мікроскопічним диполем. Якщо нам треба знати поле цих атомних диполів поблизу предмета звичайних розмірів, то ми маємо справу з відстанями, великими порівняно з проміжками між зарядами.
У деяких молекулах через саму їхню форму заряди дещо розділені навіть за відсутності зовнішніх полів. У молекулі води, наприклад, є від'ємний заряд на атомі кисню і додатний заряд на обох атомах водню, які розташовані несиметрично (фіг. 6.2). Хоча заряд усієї молекули дорівнює нулю, все ж є розподіл заряду з невеликою перевагою від'ємного заряду на одному боці й додатного на іншому. Це розташування, звісно, не таке просте, як у двох точкових зарядів, але якщо дивитися на нього здалеку, воно діє як диполь. Як ми побачимо трохи пізніше, поле на великих відстанях нечутливе до дрібних деталей розташування.Погляньмо тепер на поле двох зарядів протилежних знаків, відстань d між якими мала. Якщо d стане нулем, два заряди зійдуться в одному місці, два потенціали скоротяться, поле зникне. Але якщо вони не зовсім злилися, то можна отримати добре наближення до потенціалу, розклавши доданки в (6.8) у ряд за степенями малої величини d (за формулою бінома Ньютона). Залишаючи тільки перші степені d, ми напишемо
Зображення
Зручно позначити
Зображення
Тоді
Зображення
Розкладаючи в біноміальний ряд [1 – (zd/r2)] -1/2 і відкидаючи члени з вищими степенями d, ми отримуємо
Зображення
Подібно до цього, й
Зображення
Віднімаючи ці два члени, маємо для потенціалу
Зображення
Потенціал, а отже, і поле, що є його похідною, пропорційні qd — добутку заряду на відстань між зарядами. Цей добуток називається дипольним моментом пари зарядів, і ми позначимо його символом p (не плутайте з імпульсом!):
Зображення
Рівняння (6.9) можна також записати у вигляді
Зображення
тому що z/r=cos θ, де θ — кут між віссю диполя і радіус-вектором до точки (х, у, z) (див. фіг. 6.1). Потенціал диполя спадає як 1/r2 за фіксованого напрямку (а в точкового заряду він спадає як 1/r). Електричне поле Е диполя тому спадає як 1/r3.
Ми можемо записати нашу формулу і у векторному вигляді, якщо визначимо p, як вектор, абсолютна величина якого дорівнює p, а напрямок обрано вздовж осі диполя від q_ до q+. Тоді
Ми можемо записати нашу формулу і у векторному вигляді, якщо визначимо p, як вектор, абсолютна величина якого дорівнює p, а напрямок обрано вздовж осі диполя від q_ до q+. Тоді
Зображення
де еr— одиничний радіальний вектор (фіг. 6.3). Крім того, точку (х, у, z) можна позначити буквою r. Отже,Дипольний потенціал:
Зображення
Ця формула справедлива для диполя довільної орієнтації й положення, якщо r — вектор, спрямований від диполя до точки, що нас цікавить.
Якщо нас цікавить електричне поле диполя, то потрібно взяти градієнт φ. Наприклад, z-компонента поля є —∂φ/∂z. Для диполя, орієнтованого вздовж осі z, ми можемо скористатися (6.9):
Якщо нас цікавить електричне поле диполя, то потрібно взяти градієнт φ. Наприклад, z-компонента поля є —∂φ/∂z. Для диполя, орієнтованого вздовж осі z, ми можемо скористатися (6.9):
Зображення
або
Зображення
А х- і y-компоненти дорівнюють
Зображення
З цих двох компонент можна скласти компоненту, перпендикулярну до осі z, яку називають поперечною компонентою Еι:
Зображення
Поперечна компонента Eι лежить у площині ху і спрямована прямо від осі диполя. Повне поле, звісно, дорівнює
Зображення
Поле диполя змінюється обернено пропорційно кубу відстані від диполя. На осі при θ =0 воно вдвічі сильніше, ніж при θ =90°. За обох цих кутів електричне поле має тільки z-компоненту. Знаки її при θ =0 і при θ =90° протилежні (фіг. 6.4).