У цьому параграфі нам хотілося б обговорити таке питання: що таке векторний потенціал — просто корисне для розрахунків пристосування (так в електродинаміці корисний скалярний потенціал) чи ж він як поле цілком «реальний»? Чи ж «реальне» лише магнітне поле, оскільки тільки воно відповідальне за силу, що діє на рухому частинку?
Для початку треба сказати, що вислів «реальне поле» реального сенсу не має. По-перше, ви навряд чи взагалі вважаєте, що магнітне поле хоч якоюсь мірою «реальне», тому що й сама ідея поля — річ доволі абстрактна. Ви не можете простягнути руку й помацати це магнітне поле. Крім того, величина магнітного поля теж не дуже визначена; вибором відповідної рухомої системи координат можна, наприклад, домогтися, щоб магнітне поле в даній точці взагалі зникло.
Під «реальним» полем ми розуміємо тут ось що: реальне поле — це математична функція, яка використовується нами, щоб уникнути уявлення про далекодію. Якщо в точці P є заряджена частинка, то на неї впливають інші заряди, розташовані на якійсь відстані від P. Один прийом, яким можна описати взаємодію,— це говорити, що інші заряди створюють якісь «умови» (які — не має значення) в околі P. Якщо ми знаємо ці умови (ми їх описуємо, задаючи електричне й магнітне поля), то можемо повністю визначити поведінку частинки, анітрохи не турбуючись потім про те, що саме створило ці умови.
Іншими словами, якби ці інші заряди якимось чином змінилися, а умови в P, що описуються електричним і магнітним полем у точці P, залишилися б колишніми, то рух заряду теж не змінився б. «Реальне» поле тоді є сукупністю чисел, заданих так, що те, що відбувається в деякій точці, залежить тільки від чисел у цій точці і нам більше не потрібно знати, що відбувається в інших місцях. Саме з таких позицій ми й хочемо з'ясувати, чи є векторний потенціал «реальним» полем.
Вас може здивувати той факт, що векторний потенціал визначається не єдиним чином, що його можна змінити, додавши до нього градієнт будь-якого скаляра, а сили, що діють на частинки, не зміняться. Однак це не має нічого спільного з питанням реальності в тому сенсі, про який ми говорили. Наприклад, магнітне поле якось змінюється при зміні відносного руху (так само як і Е або А). Але нас анітрохи не турбуватиме те, що поле можна змінювати таким чином. Нам це байдуже; це ніяк не пов'язано з питанням про те, чи дійсно векторний потенціал—«реальне» поле, придатне для опису магнітних ефектів, чи ж це просто зручний математичний прийом.
Ми повинні ще зробити деякі зауваження про корисність векторного потенціалу А. Ми бачили, що ним можна користуватися у формальній процедурі розрахунку магнітних полів заданих струмів, точнісінько як φ може застосовуватися для відшукання електричних полів. В електростатиці ми бачили, що φ давалося скалярним інтегралом
Для початку треба сказати, що вислів «реальне поле» реального сенсу не має. По-перше, ви навряд чи взагалі вважаєте, що магнітне поле хоч якоюсь мірою «реальне», тому що й сама ідея поля — річ доволі абстрактна. Ви не можете простягнути руку й помацати це магнітне поле. Крім того, величина магнітного поля теж не дуже визначена; вибором відповідної рухомої системи координат можна, наприклад, домогтися, щоб магнітне поле в даній точці взагалі зникло.
Під «реальним» полем ми розуміємо тут ось що: реальне поле — це математична функція, яка використовується нами, щоб уникнути уявлення про далекодію. Якщо в точці P є заряджена частинка, то на неї впливають інші заряди, розташовані на якійсь відстані від P. Один прийом, яким можна описати взаємодію,— це говорити, що інші заряди створюють якісь «умови» (які — не має значення) в околі P. Якщо ми знаємо ці умови (ми їх описуємо, задаючи електричне й магнітне поля), то можемо повністю визначити поведінку частинки, анітрохи не турбуючись потім про те, що саме створило ці умови.
Іншими словами, якби ці інші заряди якимось чином змінилися, а умови в P, що описуються електричним і магнітним полем у точці P, залишилися б колишніми, то рух заряду теж не змінився б. «Реальне» поле тоді є сукупністю чисел, заданих так, що те, що відбувається в деякій точці, залежить тільки від чисел у цій точці і нам більше не потрібно знати, що відбувається в інших місцях. Саме з таких позицій ми й хочемо з'ясувати, чи є векторний потенціал «реальним» полем.
Вас може здивувати той факт, що векторний потенціал визначається не єдиним чином, що його можна змінити, додавши до нього градієнт будь-якого скаляра, а сили, що діють на частинки, не зміняться. Однак це не має нічого спільного з питанням реальності в тому сенсі, про який ми говорили. Наприклад, магнітне поле якось змінюється при зміні відносного руху (так само як і Е або А). Але нас анітрохи не турбуватиме те, що поле можна змінювати таким чином. Нам це байдуже; це ніяк не пов'язано з питанням про те, чи дійсно векторний потенціал—«реальне» поле, придатне для опису магнітних ефектів, чи ж це просто зручний математичний прийом.
Ми повинні ще зробити деякі зауваження про корисність векторного потенціалу А. Ми бачили, що ним можна користуватися у формальній процедурі розрахунку магнітних полів заданих струмів, точнісінько як φ може застосовуватися для відшукання електричних полів. В електростатиці ми бачили, що φ давалося скалярним інтегралом
Зображення
З цього φ ми отримували три складові Е за допомогою трьох диференціювань. Зазвичай це було легше, ніж обчислювати три інтеграли у векторній формулі
Зображення
По-перше, їх три, а по-друге, кожен із них взагалі-то трохи складніший, ніж (15.22).
У магнітостатиці переваги не такі ясні. Інтеграл для А вже сам по собі векторний:
У магнітостатиці переваги не такі ясні. Інтеграл для А вже сам по собі векторний:
Зображення
тобто тут записано три інтеграли. Крім того, обчислюючи ротор А для отримання В, треба взяти шість похідних і розставити їх попарно. Одразу не ясно, чи простіше це, ніж пряме обчислення
Зображення
У простих задачах векторним потенціалом часто буває користуватися важче, і ось із якої причини. Припустімо, нас цікавить магнітне поле В лише в одній точці, а задача має якусь гарну симетрію. Скажімо, нам треба знати поле в точці на осі кільцевого струму. Внаслідок симетрії інтеграл у (15.25) легко береться і ви одразу отримуєте В. Якби, однак, ми почали з А, то довелося б обчислювати В із похідних А, а для цього треба було б знати А в усіх точках по сусідству з тією, яка нас цікавить. Більша ж частина їх не лежить на осі симетрії, інтеграл для А ускладнюється. У задачі з кільцем, наприклад, довелося б мати справу з еліптичними інтегралами. У подібних задачах А, звісно, не приносить великої користі. У багатьох складних задачах, безсумнівно, легше працювати з А, але загалом важко було б довести, що ці технічні полегшення варті того, щоб почати вивчати ще одне векторне поле.
Ми ввели А тому, що воно справді має велике фізичне значення. Воно не просто пов'язане з енергіями струмів (у чому ми переконалися в останньому параграфі), воно — «реальне» фізичне поле в тому сенсі, про який ми говорили вище. У класичній механіці силу, що діє на частинку, очевидно, можна записати у вигляді
Ми ввели А тому, що воно справді має велике фізичне значення. Воно не просто пов'язане з енергіями струмів (у чому ми переконалися в останньому параграфі), воно — «реальне» фізичне поле в тому сенсі, про який ми говорили вище. У класичній механіці силу, що діє на частинку, очевидно, можна записати у вигляді
Зображення
так що, тільки-но задані сили, рух виявляється повністю визначеним. У будь-якій області, де В = 0, хоч би А й не дорівнювало нулю (наприклад, поза соленоїдом), вплив А ні в чому не позначається. Тому довгий час вважалося, що А — не «реальне» поле. Виявляється, однак, що в квантовій механіці існують явища, які свідчать про те, що поле А насправді цілком «реальне» поле, у тому сенсі, у якому ми визначили це слово. У наступному параграфі ми покажемо, що все це означає.