Сили, що діють на петлю зі струмом. Енергія диполя

У попередньому розділі ми вивчали магнітне поле, яке створює маленька прямокутна петля, по якій тече струм. Ми знайшли, що це поле диполя з дипольним моментом, рівним

де / — сила струму, a A — площа петлі. Момент напрямлений по нормалі до площини петлі, так що можна писати і так:

де n — одиничний вектор нормалі до площі A.
 
Петлі зі струмом, або магнітні диполі, не тільки створюють магнітні поля, а й самі підпадають під дію сили, потрапивши в магнітне поле інших струмів. Розглянемо спершу сили, що діють на прямокутну петлю в однорідному магнітному полі. Нехай вісь z напрямлена по полю, а вісь y лежить у площині петлі, що утворює з площиною ху кут θ (фіг. 15.1). Тоді магнітний момент петлі, будучи нормальним до її площини, утворює з  магнітним  полем  теж  кут  θ.
 
Раз струми на протилежних сторонах петлі течуть у протилежні боки, то й сили, що діють на них, теж напрямлені врізнобіч, а сумарна сила дорівнює нулю (в однорідному полі). Але завдяки силам, що діють на сторони, позначені на фіг. 15.1 цифрами 1 і 2, виникає обертальний момент, що прагне обертати петлю навколо осі y. Величина цих сил F₁ і F₂ така:

Їхнє плече дорівнює
 
                                    a sinθ,
 
так що обертальний момент

або, оскільки lab — магнітний момент петлі,

Обертальний момент можна записати і векторно:

Те, що обертальний момент дається рівнянням (15.2), ми показали поки що лише для доволі частинного випадку. Але результат, як ми побачимо, справджується для маленьких петель будь-якої форми. Корисно нагадати, що й для обертального моменту, який діє на електричний диполь, ми отримали співвідношення такого самого роду:

Зараз нас цікавить механічна енергія нашої петлі, по якій тече струм. Раз є момент обертання, то енергія, природно, залежить від орієнтації петлі. Принцип же віртуальної роботи стверджує, що момент обертання — це швидкість зміни енергії з кутом, так що можна написати

Підставляючи т =+μB sin θ і інтегруючи, ми вправі взяти за енергію вираз

(Знак мінус стоїть тому, що петля прагне розвернути свій момент по полю; енергія найнижча тоді, коли (μ і В паралельні.)
 
З причин, про які ми поговоримо пізніше, ця енергія не є повною енергією петлі зі струмом. (Ми, наприклад, не врахували енергії, що йде на підтримання струму в петлі.) Тому ми будемо називати її U_мех, щоб не забути, що це лише частина енергії. І, крім того, сталу інтегрування в (15.3) ми вправі взяти рівною нулю, все одно ж якісь інші види енергії ми не врахували. Так що ми перепишемо рівняння  так:

Знову вийшла відповідність з електричним диполем, де

Лише в (15.5) електрична енергія — і справді енергія, a U_мех в (15.4) — не справжня енергія. Але все одно її можна застосовувати для розрахунку сил за принципом віртуальної роботи. Треба тільки припускати, що струм у петлі (або принаймні магнітний момент μ) залишається незмінним при повороті.
 
Для нашої прямокутної петлі можна показати, що U_мех відповідає також роботі, витраченій на те, щоб внести петлю в поле. Повна сила, що діє на петлю, дорівнює нулю лише в однорідному полі, а в неоднорідному все одно залишаться якісь сили, що діють на струмову петлю. Вносячи петлю в поле, ми змушені будемо пронести її через місця, де поле неоднорідне, і там буде витрачена робота. Вважатимемо для спрощення, що петлю вносять у поле так, що її момент напрямлений уздовж поля. (А наприкінці, вже в полі, її можна повернути як треба.)
Уявіть, що ми хочемо рухати петлю в напрямку x, тобто в ту область, де поле сильніше, і що петля орієнтована так,  як  показано  на фіг. 15.2. Ми вирушимо звідти, де поле дорівнює нулю, і будемо інтегрувати силу по відстані в міру того, як петля входить у поле.
 
Розрахуємо спочатку роботу перенесення кожної сторони окремо, а потім усе складемо (замість того, щоб складати сили до інтегрування). Сили, що діють на сторони 3 і 4, напрямлені впоперек руху, так що на ці сторони робота не витрачається. Сила, що діє на сторону 2, напрямлена по x і дорівнює IbB(x); щоб дізнатися всю роботу проти дії магнітних сил, потрібно проінтегрувати цей вираз по x від деякого значення x, де поле дорівнює нулю, скажімо, від x = –∞ до теперішнього положення x₂:

Подібно до цього, і робота проти сил, що діють на сторону 1, дорівнює

Щоб обчислити кожен інтеграл, треба знати, як B(x) залежить від x. Але ж сторона 1 під час руху рамки розташована весь час паралельно стороні 2 на одній і тій самій відстані від неї, так що в її інтеграл входить майже вся робота, витрачена на переміщення сторони 2. Сума (15.6) і (15.7) насправді дорівнює

Але, потрапивши в область, де B на обох сторонах 1 і 2 майже однакове, ми маємо право записати інтеграл у вигляді

де B — поле в центрі петлі. Вся вкладена механічна енергія виявляється рівною

Це узгоджується з виразом для енергії (15.4), обраним нами  раніше.
 
Звісно, той самий висновок вийшов би, якби ми до інтегрування склали всі сили, що діють на петлю. Якби ми позначили через В₁ поле біля сторони 1, а через В₂ — поле біля сторони 2, то вся сила, що діє в напрямку x, виявилася  б  рівною

Якщо петля «вузька», тобто якщо В₂ і В₁ не дуже відрізняються між собою, то можна було б написати

Так що сила була б рівною

Вся робота, виконана зовнішніми силами над петлею, дорівнювала б

а це знову —μB. Але тепер нам стає зрозуміло, чому виходить, що сила, яка діє на невелику струмову петлю, пропорційна похідній магнітного поля, як це й слід було  очікувати з

Інший наш результат полягає в такому. Хоч і не виключено, що не всі види енергії увійшли до формули U_мех = —μВ (адже це просто якась імітація енергії), нею все ж можна користуватися, застосовуючи принцип віртуальної роботи, щоб дізнатися, які сили діють на петлі з постійним струмом.